术语 O(1) 空间和不使用额外空间的含义

Posted 2023-02-19

【中文标题】术语 O(1) 空间和不使用额外空间的含义

【英文标题】：Meaning of the terms O(1) space and without using extra space

【发布时间】：2012-06-06 08:07:37

【问题描述】：

这让我有点困惑。当约束如下时，我解决给定问题的方法应该是什么：

1) 不使用额外空间： 例如：如果我想对给定的数组进行排序，我几乎没有办法做到这一点。 冒泡排序，不断交换（只是循环，没有递归）。我相信据说这是不使用额外空间的。 如果我使用递归对元素进行排序，会发生什么情况。是和“不使用额外空间”一样，还是使用的堆栈计入算法的空间复杂度？

2) 在 O(1) 空间中： O(1) 空间的含义是什么？这是否意味着恒定的空间。现在如果它是常数空间那么请评论以下情况：

a) 如果我在第三个变量的帮助下进行冒泡排序。它不是一个额外的空间，它不会依赖于输入的大小，所以它是恒定的空间。

b) 此外，如果我将计数排序应用于自然数，它实际上并不需要与总数成正比的空间量，我们是否认为它在恒定空间 O(1) 中。

如果有区别，请解释一下。 谢谢

【参考方案1】：

“没有多余的空间”意味着一定数量的空间，通常正好是 n，可通过输入获得，并且不应使用更​​多空间，尽管在面试中我从不在乎候选人是否使用 O(1) 额外空间。老实说，在任何现代语言中，您都很难避免 O(1) 额外空间用于您可以采取的几乎任何琐碎操作。

在限制算法的空间复杂度时堆栈计数。

O(1) 表示常数。

计数排序至少使用 O(k) 空间，其中 k 是可能的最大键大小。因此，理论上，如果我们谈论的是固定位数上的整数，那是一个常数。这也是为什么基数排序有时被称为线性时间排序的原因。

【讨论】：

要清楚，计数排序使用 O(k) additional 空间，但总体空间为 O(n + k)，因为您甚至需要占用空间来存储输入考虑。基数排序与计数排序有些不同，请不要混淆两者。

【参考方案2】：

根据Fortnow & Homer (2003)，

计算的空间复杂度 [...] 被视为工作磁带上使用的空间量。

排序算法至少都是 O(n) 空间，因为它需要空间来存储所有输入（无论是在内存上还是在磁盘上）。因此，即使是冒泡排序，空间复杂度仍然是O(n)。

但是，有时，我们对整体空间复杂度不感兴趣（尤其是在上述情况下），但我们想知道算法使用的额外空间。对于冒泡排序，我们可以说它使用了恒定数量的额外空间。

递归是一个非常特殊的情况，我们必须考虑堆栈。我们在递归时存储状态，我们根据输入多次调用递归函数。由于递归层数取决于输入大小，空间复杂度必须考虑堆栈空间使用情况。

我不确定 O(1) 空间算法是否常见，但循环查找算法就是这样的示例之一。该算法本身仅使用恰好 2 个“指针”的空间。需要单独计算其循环的函数使用的额外空间。

在计数排序的情况下，空间复杂度取决于输入n的大小（计数）和最大输入值k。这两个参数是相互独立的，因此 空间复杂度为 O(n + k)。使用的额外空间可以定义为 O(k)。

【参考方案3】：

O(1) ：它被定义为 ，其中输入以固定常数为界。我们可以将其与我们给定要输入的整数范围在 -10 之间进行比较^5 到 10^5。 所以简而言之，我们可以说它表示对要输入的值的限制。

O(n) ：当我们对输入没有条件时，它与上面的正好相反。 例如，当我们必须输入一个字符串时，我们输入的字符串的长度是没有条件的