f = Ω(log n) 和 g = O(n) 是 g(n) = O(f (n))

Posted 2023-02-19

【中文标题】f = Ω(log n) 和 g = O(n) 是 g(n) = O(f (n))

【英文标题】：f = Ω(log n) and g = O(n) is g(n) = O(f (n))

【发布时间】：2022-01-20 15:55:36

【问题描述】：

给定两个函数 f = Ω(log n) 和 g = O(n)，考虑以下语句。为了 每个陈述，写出是真是假。对于每个错误的陈述，写两个 显示反例的函数 f 和 g。

 1) g(n) = O(f (n))
 2) f (n) = O(g(n))
 3) f (n) = Ω(log (g(n)))
 4) f (n) = Θ(log (g(n)))
 5) f (n) + g(n) = Ω(log n)

我知道 Big O 的意思是不比 (function) 好，而 Big Omega 的意思是不比 (function) 差。但我不知道这是否使上述说法正确或错误。

【问题讨论】：

我投票结束这个问题，因为它是一个数学问题，而不是一个编程问题。您可以在 Mathematics 或 Computer Science 上提出类似的问题，但请务必在发布前查看他们的问题指南。

我认为你的定义颠倒了。 formal definitions can be found here.

【参考方案1】：

错误。一个反例是g(n) = n \in O(n) 和f(n) = log(n) \in Omega(log(n))。这两个假设都是正确的，但g(n)不在O(f(n))中。

错误。一个反例是g(n) = log(n) \in O(n) 和f(n) = n \in Omega(log(n))，但f(n) 不在O(g(n)) 中。

没错。如f(n) \in Omega(log(n))，表示lim_n\to\infty f(n)/log(n) > 0。作为g(n) \in O(n)，我们可以直接得出结论lim_n\to\infty f(n)/log(g(n)) > 0。因此f(n) \in Omega(log(g(n))。

错误。一个反例是f(n) = n \in Omega(n) 和g(n) = log(n) \in O(n)，但f(n) 不在theta(g(n)) = theta(log(n)) 中。

没错。如f(n) \in Omega(log(n))，表示lim_n\to\infty f(n)/log(n) > 0。因此A = lim_n\to\infty (f(n) + g(n))/log(g(n)) = f(n)/log(n) + g(n)/log(n)。因此，作为g(n) > 0，A > 0，它的意思是f(n) + g(n) \in Omega(log(n))。

【讨论】：

谢谢先生，但我该如何解决

@AhmedAli 随时。 “解决它”是什么意思？这些是一些真/假问题，我通过相应符号的定义来证明它们或通过反例来反驳它们。

我试过这样的事情，但我不知道这是否正确 f(n)= Ω(log n) 所以 f(n) > constant1 * log n 和 g(n) = O(n ) 所以 g(n)

@AhmedAli 正如我所反驳的那样，这种说法是不正确的。有一个反例。因此，不幸的是，您的证明似乎对陈述 1 不正确。

好的，我会尽力理解这一点，但非常感谢您