在虚构的归并排序示例中使用主定理进行渐近分析

Posted 2023-02-19

【中文标题】在虚构的归并排序示例中使用主定理进行渐近分析

【英文标题】：Asymptotic analysis using the master theorem on a fictitious mergesort example

【发布时间】：2016-10-28 21:05:47

【问题描述】：

假设我们有一个虚构的合并排序，其中合并操作花费O(n^2) 而不是O(n)。那么根据主定理，我们有：

T(n) <= aT(n/b) + O(n^d)
T(n) <= 2T(n/2) + O(n^2)

由于a < b^d，我们发现：

T(n) = O(n^d)
T(n) = O(n^2)

但是，直观地说，大 O 为 T(n) = O(n^2 logn) 也是有道理的，因为每次递归都会对数字执行二次 (n^2) 搜索。例如，在线性搜索的情况下，归并排序是O(n logn)。有谁知道为什么绑定不是O(n^2 logn)？这可能与每次递归时搜索减半的事实有关吗？

【参考方案1】：

我们可以认为正常合并排序所花费的时间如下（我们合并 2 个大小为 n/2 的列表，我们合并 4 个大小为 n/4 的列表，我们合并 8 个大小为 n/8 的列表，等等）：

2(n/2) + 4(n/4) + 8(n/8) + 16(n/16) + ... + n(1)

简化为：

n + n + n + ... + n = O(nlogn)

对于您的新合并排序，我们改为：

2(n/2)^2 + 4(n/4)^2 + 8(n/8)^2 + 16(n/16)^2 + ... + n(1)^2

简化为：

n^2/2 + n^2/4 + n^2/8 + n^2/16 + ...

然后变成：

n^2(1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...) = O(n^2)

我希望这能吸引你的直觉。

【讨论】：

但这并不能解释为什么 b = 2, d = 1 的情况是 O(n log n)

@willywonkadailyblah：我的回答并没有试图解释主定理。它只是试图以直观的方式解释归并排序的两种变体的时间复杂度，以回答最初的问题“为什么用O(n^2) 而不是O(n^2 logn)？”