我对这种重复的替代解决方案是不是正确？

Posted 2023-02-19

【中文标题】我对这种重复的替代解决方案是不是正确？

【英文标题】：Is my substitution solution to this recurrence correct?我对这种重复的替代解决方案是否正确？

【发布时间】：2013-02-22 14:36:55

【问题描述】：

我有一个递归关系，是这样的：

T(eⁿ) = 2(T(e^n-1)) + eⁿ，其中e是自然对数.

为了解决这个问题并找到一个 Θ 界，我尝试了以下方法：我将 k=eⁿ 放入，等式转换为：

T(k)=2T(k/e)+k

然后，我尝试使用主定理。根据主定理，a=2，b=e>2，f(k)=k。因此，对于某些 ε>0，我们有 f(k)=Ω(n^log_ba+ε) 的情况，因此我们有 T(k)=Θ (f(k))=Θ(k)。然后设 k=n，我们有 T(n)=Θ(n)。我的解决方案有错误吗？

【问题讨论】：

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什么是归纳基T(e^0)？

看起来是正确的，虽然有点奇怪......

【参考方案1】：

让我们一步一步完成。

你有重复

T(eⁿ) = 2 T(e^n-1) + eⁿ

现在，让我们进行变量替换。定义 k = eⁿ。然后我们得到

T(k) = 2T(k / e) + k

在这种情况下，使用主定理，我们得到 a = 2、b = e 和 f(k) = k。由于 logb a = ln 2

如果我们现在设置 k = n'，其中 n' 是函数的实际输入，那么我们得到 T(n') = Θ(n)，我们就完成了。所以是的，数学检查出来了。

希望这会有所帮助！