主定理和递归

Posted 2023-02-19

【中文标题】主定理和递归

【英文标题】：Master Theorem & Recurrences

【发布时间】：2017-10-20 17:00:54

【问题描述】：

我想知道如何解决这段代码的主定理：

unsigned long fac (unsigned long n ) 
    if (n == 1 )
        return 1;
    else
        return fact(n-1)*n;

所以基于我只有 1 次称自己为 a=1 的事实。除了该函数调用之外，没有其他任何东西，所以 O(n) = 1 也是如此。现在我正在为我的b挣扎。通常的一般公式是：

T(n) = a*T(n/2) + f(n)

在这种情况下，我不划分主要问题。新问题只需要解决 n-1 个问题。 b 现在是什么？因为我的重复是：

T(n) = 1*T(n-1) + O(1)

既然我不知道确切的 b，我现在如何使用主定理？

【参考方案1】：

你可以通过改变变量来“作弊”。

让T(n) = S(2^n)。然后复发说

S(2^n) = S(2^n/2) + O(1)

我们重写

S(m) = S(m/2) + O(1).

根据 a=1, b=2 的 Master 定理，解是对数的

S(m) = O(log m),

意思是

T(n) = S(2^n) = O(log 2^n) = O(n).

---

反正递归更容易直接解决，用

T(n) = T(n-1) + O(1) = T(n-2) + O(1) + O(1) = ... = T(0) + O(1) + O(1) + ... O(1) = O(n).

【讨论】：

这很聪明！出于好奇，在执行此技巧时，您是否不需要比主定理通常提供的对数基数更精确，因为常数因子会转化为多项式指数的差异？

@templatetypedef：我隐含地表示底数是 2，但这并不重要，因为 O 表示法有一个隐藏因素。在任何情况下，行为都是线性的。

【参考方案2】：

主定理不适用于这种特定的递归关系，但这没关系 - 它不应该适用于任何地方。您最常看到主定理出现在分而治之的循环中，您将输入拆分为输入原始大小的恒定分数的块，在这种特殊情况下，情况并非如此。

要解决这种递归，您需要使用另一种方法，例如迭代方法或以不同的方式查看递归树的形状。