关系的时间复杂度 T(n) = T(n-1) + T(n/2) + n

Posted 2023-02-19

【中文标题】关系的时间复杂度 T(n) = T(n-1) + T(n/2) + n

【英文标题】：time complexity of relation T(n) = T(n-1) + T(n/2) + n

【发布时间】：2015-08-04 19:23:24

【问题描述】：

关系

T(n) = T(n-1) + T(n/2) + n

我可以先解出得到 O(n^2) 的项 (T(n-1) + n)，然后解出 T(n/2) + O(n^2) 项吗？

根据同样给出 O(n ^ 2) 的主定理还是错了？

【问题讨论】：

如果您对复杂性有“猜测”，您总能做的一件事是尝试使用归纳法直接证明事物。如果您的猜测错误，这种方法可能无法帮助您找到正确的解决方案，但如果您的猜测正确，那么您无需记住任何特殊方法即可获得所需的证明

【参考方案1】：

不，您无法使用 Mater-theorem 解决它。

您需要使用Akra–Bazzi method 来解决它，这是著名的主定理的更简洁的概括。

主定理假设子问题的大小相等。

主定理涉及形式的递归关系

T(n) = a T(n/b) + f(n) ，其中 a>=1，b>1。

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我不是在这里推导出解决方案的步骤，以便您解决问题。如果您在解决相同问题时还有其他问题，请在下面发表评论。祝你好运...

【参考方案2】：

我认为您的方法在一般情况下是不正确的。当你抛弃 T(n/2) 项来计算 T(n-1) 项的复杂度时，你最终会低估 T(n-1) 项的大小。

举个具体的反例：

 T(n) = T(n-1) + T(n-2) + 1

您的技术也将为此提出 T(n) = O(n^2)，但真正的复杂性是指数级的。