从 n 返回 k 个元素的连续组合的按需算法

Posted 2023-02-17

【中文标题】从 n 返回 k 个元素的连续组合的按需算法

【英文标题】：On-demand algorithm to return successive combinations of k elements from n

【发布时间】：2015-02-26 03:00:27

【问题描述】：

This post 展示了如何编写一种算法来一次性吐出 n 中 k 元素的所有组合，从而避免排列。但是，如何编写一种算法，按需给出下一个组合（显然，无需预先计算和存储它们）？它将使用有序的符号集 n 和整数 k 进行初始化，然后将被调用以返回下一个组合。

对于我的目的来说，伪代码或良好的英语叙述就可以了 - 除了 Perl 和 C 以及一点 Java，我还不太流利。

【问题讨论】：

另见***.com/questions/4436353/…

【参考方案1】：

原文写法

（跳到下面的更新）

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假设n 元素是整数1..n。 按递增顺序表示每个k-combination（此表示消除了k-combination 内的排列。） 现在考虑 k 组合（n 元素）之间的字典顺序。换句话说，i_1..i_k < j_1..j_k 如果存在索引t 这样 i_s = j_s 代表所有 s < t 和 i_t < j_t。 如果i_1..i_k 是k 组合，则将nexti_1..i_k 定义为w.r.t 的下一个元素。字典顺序。

这是计算nexti_1..i_k的方法：

找到最大的索引r 使得i_r + 1 < i_r+1 如果没有索引满足这个条件和i_k < n，设置r := k 如果以上条件都不满足，则没有下一个（k-组合等于n-k+1, n-k+2,... ,n） 如果r满足第一个条件，则设置next为i_1, ..., i_r-1, i_r + 1, i_r+1, ..., i_k 如果r = k（第二个条件），设置next := i_1, ..., i_k-1, i_k + 1.

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更新（非常感谢@rici 改进解决方案）

假设n 元素是整数1..n。 按递增顺序表示每个k-combination（此表示消除了k-combination 内的排列。） 现在考虑 k 组合（n 元素）之间的字典顺序。换句话说，i_1..i_k < j_1..j_k 如果存在索引t 使得 i_s = j_s 代表所有 s < t 和 i_t < j_t. 如果i_1..i_k 是k 组合，则将nexti_1..i_k 定义为w.r.t 的下一个元素。字典顺序。 请注意，在这个顺序中，最小的k-组合是1..k，最大的n-k+1, n-k+2,... ,n。

这里是如何计算nexti_1..i_k

找到最大的索引r，这样i_r 可以增加1。 增加索引r 处的值，并将以下元素重置为从i_r + 2 开始的连续值。 重复直到没有位置可以增加。

更准确地说：

如果i_k < n，将i_k 增加1（即，将i_k 替换为i_k + 1） 如果i_k = n，找到最大的索引r，使得i_r + 1 < i_r+1。然后将i_r 增加1 并将以下位置重置为i_r + 2, i_r + 3, ..., i_r + k + 1 - r 重复直到到达n-k+1, n-k+2,... ,n

注意算法的递归字符：每次递增最低有效位置时，尾部都会重置为以刚刚递增的值开始的字典最小序列。

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Smalltalk 代码

SequenceableCollection >> #nextChoiceFrom: n
    | next k r ar |
    k := self size.
    (self at: 1) = (n - k + 1) ifTrue: [^nil].
    next := self shallowCopy.
    r := (self at: k) = n
      ifTrue: [(1 to: k-1) findLast: [:i | (self at: i) + 1 < (self at: i+1)]]
      ifFalse: [k].
    ar := self at: r.
    r to: k do: [:i | 
      ar := ar + 1.
      next at: i put: ar].
    ^next

【讨论】：

你打败了我，所以我会提供一个简化。前两个项目符号可能是：“找到最大的 r 使得 i_r - r < n - k。”第四个子弹应该是“设置在i_1, ..., i_r-1, i_r + 1, i_r + 2, ..., i_r + k + 1 - r旁边”，第五个子弹只是第四个的特例，所以可以减少到三个子弹。

@rici：我仍在尝试了解 Leandro 的解决方案，但我认为它适用于 任何 组具有排序的字符，尽管他说假设n 元素是整数。我认为，您建议的简化要求它们是整数 1..n，因为您对实际值 (i_r - r) 执行算术运算。我对此是否正确？ （编辑：哎呀，没关系，我看到解决方案确实至少依赖于增加元素的能力）

啊！我得到它。实际上，前两个项目符号是在寻找潜在的“进位”并定位最左边的元素，如果i_k 增加，则会受到从右到左的进位“涟漪”影响。找到该元素后，它可以将元素递增到紧邻的左侧，然后将右侧的元素设置为点 #2 要求的逐渐更高的值（“以递增顺序表示每个 k 组合......”）。所以我确实认为@rici 的简化是有道理的。

@Chap：是的，从技术上讲，他的公式只要求您能够比较两个元素并找到一个元素的后继元素。并且可以修改为只需要后继操作。但在实践中，您将在索引向量上执行它，将修改镜像到符号向量上。这是

@chap：你可以这样想：想象一根有 n 个凹口和 k 个珠子的杆。珠子必须停留在槽口中。你从尽可能向左的所有珠子开始。每转一圈，你都会找到最右边的可以向右移动的珠子——通常是最右边的珠子——然后你把它向右移动一个格子，然后把它右边的所有珠子（如果有的话）尽可能向左移动.继续，直到所有的珠子都尽可能靠右。

【参考方案2】：

这里是如何做到这一点的散文描述。从您最喜欢的生成所有组合的迭代算法开始。然后把每个循环变量变成一个状态变量，全部打包成一个类。用k和n构造一个类的实例，并根据算法初始化每个状态变量。

【参考方案3】：

您可以通过将它们转换为Iterator Pattern 来实现您所描述的大部分算法。这需要您在连续的nextELement() 调用之间保存算法的状态。

如果您的语言支持协程，您可以更轻松地转换代码。 Python 和 C# 都有一个 yield 关键字，可用于将控制权转移回调用函数，同时保留您正在执行的算法状态。