在圆柱/圆锥上统一生成 3D 点

Posted 2023-04-14

【中文标题】在圆柱/圆锥上统一生成 3D 点

【英文标题】：uniform generation of 3D points on cylinder/cone

【发布时间】：2011-02-10 07:59:23

【问题描述】：

我希望在圆柱体和圆锥体上随机均匀地生成点（分别）。圆柱体由其中心、半径和高度定义。锥体规格相同。我能够获得每个形状的边界框，所以我正在考虑在边界框中生成点。但是，我不确定如何将它们投影到圆柱体/圆锥体上，或者这是否是最好的主意。

有什么建议吗？

谢谢。

【问题讨论】：

看起来比率从 1.5 变为 0.5。您可能想要 ratio=(max_y-y)/cone->Height() 代替。

另外，为了阻止你的点在顶点周围聚集，你需要 y=(max_y-min_y)*(1-sqrt(RandomNumber()))+min_y

看起来您编辑中的问题已得到解答。你能把它清理干净，或者添加另一个 EDIT 来表明它已经被回答了吗？

【参考方案1】：

圆柱壳是微不足道的。如果半径 r > 0 且高度 h > 0 的圆柱体是 (x, y, z) = (r cos φ, r sin φ, z) 在 φ ∈ [0, 2π[ 和 z ∈ [-h /2, h/2]，然后简单地在这些区间上随机选择 φ 和 z。当然，也可以使用标准参数化简单地对圆锥进行参数化，但是面积元素在参数平面上不会是恒定的，因此点的分布不会是随机的。因此，您需要找到不同的参数化。我已经在my AlgoSim site 的一个领域详细讨论了这个话题。

【参考方案2】：

对此的一种思考方式是圆柱体和圆锥体都可以展开成平面 - 只需用一条直线从上到下切割每一个。

圆柱体展开成一个矩形（如果包括顶部和底部，则添加几个圆盘）。

圆锥展开成一个三角形，其底部是弧形的圆弧（如果包括圆锥的底部，则添加一个圆盘）。

将这些平面嵌入到 xy 平面上的矩形 R 中非常简单。在R 中生成均匀分布的点，只要它们在平面内，就将它们映射回原始表面。

请注意此处尝试根据角度和高度协调锥体的其他一些答案。尽管这些点在角度和高度方面是均匀分布的，但它们不会在 w.r.t. 方面均匀分布。区域。它们将更密集地分布在尖端。

【参考方案3】：

直接在圆柱或圆锥上生成点会更简单。

自从我这样做以来已经有一段时间了，但是参数化圆柱体的轴，然后为每个点参数化该高度的圆。这将在曲面上创建点。圆的半径就是圆柱的半径。

对于圆锥，当您从底部移动到顶点时，您需要减小圆的半径。

【参考方案4】：

让一个点由坐标r、a、h定义，其中r是“半径"（从中心经过的垂直轴的距离），a 是极坐标中的角度，h 是它的高度。

对于圆柱体（半径R和高度H）：独立选择

a [0, 2pi) 中的制服， h 统一在 [0, H] 和 r 具有“三角密度”：f(r) = 2 r / R if 0 r R，否则为0（r处的密度应与半径r的圆周长度成正比>)。

从这种三角分布中采样应该不难，因为它的累积分布（二次单项式）很容易可逆（参见this article）。另外，这个答案是基于直觉的，但是证明你在圆柱体上得到的分布是均匀的应该不难。

对于圆锥（半径R和高度H）：选择

一个制服在[0, 2pi), h，密度由一段抛物线构成：f(h) = 3 (H - h) ^2 / H^3 如果 0 h H，否则为 0（h 处的密度应与高度 h 处的圆形截面面积成正比）， 让 r( h ) = (H - h) R /H（截面在高度h处的半径）；然后选择具有“三角分布”的 r f(r) = 2 r / r( h ) 如果 0 r r( h )，否则为 0。

同样，采样 h 应该很容易，因为累积分布很容易可逆。

编辑。如果您的意思是在形状的表面上生成点，那么解决方案更简单：

圆柱体：选择

a [0, 2pi) 中的制服， h 统一在 [0, H], r = R.

圆锥：选择

一个制服在[0, 2pi), h 具有三角形密度：f(h) = 2 (H - h) / H ^2 如果 0 h H，否则为 0（h 处的密度应与高度 h 处的周长）。 r = r( h ) = (H - h) R / H = 高度半径h。

【讨论】：

糟糕。你是说表面上的？

是的，根据定义，圆柱体（和圆锥体）是空间中的表面，而不是固体物体。而且我认为 OP 确实在使用这个数学定义，因为他使用介词“on”而不是“inside”。

我完全不确定你的定义（en.wikipedia.org/wiki/Cone_%28geometry%29en.wikipedia.org/wiki/Cylinder_%28geometry%29），但是我已经更新了两个形状侧面的点。

【参考方案5】：

其他答案已经很好地涵盖了圆柱体外壳。对于锥体来说，事情要困难一些。为了保持点的恒定密度，您需要补偿半径的变化。

为此，您可以从选择点之间的距离开始。当您沿着圆锥的轴移动时，您计算该高度处的周长，然后将周长除以点之间的线性距离以获得点数。然后，您将 2pi 弧度（或 360 度，或其他）除以点数以获得该半径的角距离。

根据您需要的精度，您可以在计算下一个圆时跟踪一个圆的余数。例如，如果你有两个连续的圆圈需要 xxx.4 分，如果孤立地看，你会四舍五入——但一起看，你有 xxx.8 分，所以你应该一个向下取整，另一个向上取整，以使整体密度尽可能接近正确值。

请注意，虽然不是那么明显，但后者也可以应用于圆柱体——在分布每个圆点时通常会进行一些舍入。

【参考方案6】：

将这些答案放入伪代码中：

对于圆柱体，给定圆柱半径和圆柱高度：

angle = random number between 0 & 360

x = cos(pi/180*angle)*cylinderRadius
y = sin(pi/180*angle)*cylinderRadius
z = random number between 0 and cylinderHeight.

对于一个圆锥，给定coneRadius，coneHeight：

angle = random number between 0 & 360

z = random number between 0 and coneHeight

thisRadius = coneRadius * (1-(z/coneHeight)); //This gives a decreasing radius as height increases.

x = cos(pi/180*angle)*thisRadius
y = sin(pi/180*angle)*thisRadius

每个点 (x,y,z) 将位于圆柱体/圆锥体上。生成足够多的这些点，您可以在圆柱体/圆锥体的表面生成粒子，但它可能不会形成完全均匀的分布......

【讨论】：

问题是要找到一个均匀分布，而在你的圆锥代码中不是这种情况。

【参考方案7】：

对于半径为 R 的圆或圆锥上的均匀点，以及高度/高程 H：

generate:
  angle= uniform_random(0,2*pi)
  value= uniform_random(0,1)

in either case, let:
  r= R * sqrt(value)

then (using separate random numbers for each):
  circle_point= point3d( r*cos(angle), r*sin(angle), H )
or:
  cone_point= point3d( r*cos(angle), r*sin(angle), r*H )

请注意，如果您想在圆锥体上放置一个底座，则需要将其与弯曲形状分开进行。为了确保不同部分的点密度相同，一种简单的方法是计算部分的面积并为每个部分生成成比例的点数。

sqrt(value) 确保随机点的密度是均匀的。正如其他问题所提到的，您需要一个三角分布；取 sqrt() 将 [0,1) 上的均匀分布变成三角形。

对于圆柱体，您不需要 sqrt();弯曲部分是：

  cylinder_point= point3d( R*cos(angle), R*sin(angle), H*value )