解决背包的变体，其中物品的价值取决于已经在袋子中的物品

Posted 2023-02-16

【中文标题】解决背包的变体，其中物品的价值取决于已经在袋子中的物品

【英文标题】：Solving a variation of the knapsack in which the value of an item depends on items that are already in the sack

【发布时间】：2015-08-04 21:52:18

【问题描述】：

我正在尝试解决以下问题： 我有一组N项目，其中每对项目都有一个相互得分，我需要选择W项目的组合，使得总分最高。 以i,j,k为例，项目的总分是

score(i,j) + score(i,k) + score(j,k).

为了避免遍历所有N^W 可能的组合，我考虑对0-1 背包问题做一个变体，并通过这两个变化用动态规划解决：

将所有权重设置为 1（所以最终我会在我的麻袋中得到准确的 W 物品） 我将根据当前正在检查的项目和当时已经在袋子中的项目“即时”计算值，而不是每个项目都有一个常量值数组。

我已经开始使用这两个更改编写解决方案，但是现在我考虑得更多，我担心它无法通过动态编程来解决，因为“最佳子结构”属性不成立。 比如W=3和itemsi,j,k是最优解，那么对于W=2，i,j不一定是最优解（根据上面的总分计算）。 有谁知道如何通过动态编程而不是O(N^W) 蛮力来解决这个问题？

谢谢

【问题讨论】：

你绝对可以用DP来保存所有的相互分数

【参考方案1】：

您的问题是 NP-hard，这意味着几乎可以肯定没有快速的多项式时间算法来解决它，因为没有人能够提出多项式时间算法来解决 NP-hard 问题。要查看 NP 硬度，假设您有一个图表，其中节点是您的索引，并且如果 i 和 j 之间存在边，则将 i,j 之间的分数定义为 1，否则为 0。然后，如果可以，在多项式时间内，找到最多包含 W 个节点的节点的最大分数子集，然后您可以在多项式时间内确定图中是否存在大小为 W 的集团。这是一个 NP 完全问题。