0-1 背包再访

Posted 2023-02-16

【中文标题】0-1 背包再访

【英文标题】：0-1 Knapsack revisited

【发布时间】：2012-06-07 08:42:14

【问题描述】：

嗯，这是一个古老的 0-1 背包问题，但在找到我能得到的最高总价格后，我需要找到我可以携带的物品。但是对于下面的测试用例（共3项）

10 (max weight that I can carry)
5 3 (weight and value for each item)
5 2
6 5

这里的最高价格是 5。但重量可以是 6 或 10(5+5) 。两者都会给出相同的价格，但显然可行的是 6 公斤的物品而不是 10 公斤的物品。我想提示我如何从 dp 矩阵计算这个。我得到了这个测试用例的以下矩阵。

0 0 0 0 3 3 3 3 3 3 
0 0 0 0 3 3 3 3 3 5 
0 0 0 0 3 5 5 5 5 5 

使用此算法，它发现重量为 10，但最佳重量为 6 公斤。

i=n, k=W(max weight)// n= total items

while i,k > 0

if dp[i,k] ≠ dp[i−1,k] then 
mark the ith item as in the knapsack
i = i−1, k = k-w(weight of ith item)

else
i = i−1

【参考方案1】：

简单的解决方案是在不同尺寸的袋子上反复运行背包算法，并选择最小的袋子，但仍能提供与原始袋子相同的价值。

这可以在重量 [0,W] 上使用 binary search 来完成 - 因此您将运行背包算法总计 O(logW) 次，从而为您提供总计 O(nW*log(W)) 解决方案，以找到最大值和可能的最小袋子尺寸。

如何暗示二分搜索的想法： 让原始包的大小为W，运行knapsack(W,items)，得到value。现在检查knapsack(W/2,items) 是否仍然返回value。如果是 - 在(0,W/2] 范围内搜索。如果没有，请在(W/2,W] 范围内搜索，直到找到返回value 的最小包大小。

【讨论】：

你能解释一下我们可以在权重上应用二分搜索的场景吗

@Imposter：让原始包的大小为W，运行knapsack(W,items)，得到value。现在检查knapsack(W/2,items) 是否仍然返回值。如果是 - 在范围 (0,W/2] 中搜索。如果不是，则在范围 (W/2,W] 中搜索，直到找到返回 value 的最小袋子大小。清楚吗？如果是的 - 我会将其添加到答案中。

后面的问题看不懂

在剪枝概念中，我们消除了无法产生优化解决方案的额外计算。所以我们以同样的方式运行 knapsack(W,items) 并获取值。现在检查 knapsack(W/2,items) 是否仍然返回值。如果是 - 在范围 (0,W/2] 中搜索。如果不是，则在范围 (W/2,W] 中搜索，直到找到返回值的最小袋子大小。在上述过程中，我们正在消除两半中的任何一个..我希望我很清楚

@Imposter：确切地说，每次迭代都会削减范围的一半，因此要获得包含单个元素的范围 - 您需要 O(logW) 迭代，每次花费 O(nW)（因为每次迭代都会调用背包算法）