最大覆盖变体的启发式

Posted 2023-02-16

【中文标题】最大覆盖变体的启发式

【英文标题】：Heuristic for Maximum Coverage variant

【发布时间】：2015-07-25 01:22:53

【问题描述】：

我有以下问题： 有N组。每个组都是集合的集合。 目标是从 N 个组中的每个组中准确选择一个集合，以使作为所有选择的并集的集合的大小最大化。 每组中的集合数不一定相同，但有界是由某个数 M 限制的。

例如，

1. 6, 7, 8, 10 
2. 6,7, 8,9 
3. 10, 1,2, 99

实际答案为6，因为您可以从1 中选择6,7,8，从2 中选择8,9，从3 中选择1,2，从而使联合1,2,6,7,8,9 的大小为6。

在我的特定领域中，问题结构始终遵循以下规则： N 从 1 到 2000 不等。集合中的数字从 1 到 50。单个集合的最大大小为 5，并且给定集合中任何两个数字之间的绝对差不能超过 2（集合可以包含j 、j+1、j-1、j+2 或 j-2)。

我认为我不能足够快地完美解决这些问题。所以我想出了以下启发式方法：

大小的上限是每个组中每个集合的并集大小（上例中为 8） 大小的上限是每个组中最大集合的大小之和。 （上面的例子会给出 7） 大小上限为 min(heuristic1, heuristic2)

我认为没有一种有效的算法可以准确计算尺寸（尽管我很想被证明是错误的）。但是，如果有人能看到一个可以给出更严格界限（并且计算效率高）的启发式算法，那就太棒了。

编辑：对于我的特定用例，我只对上限感兴趣。我需要能够肯定地说大小不超过一个特定的数字，否则启发式对我来说毫无用处。

【参考方案1】：

可以利用的组和集合之间是否存在任何关系？

如果不是，那么使用一个简单的贪心算法怎么样，从空集开始，然后为每个组添加当前解决方案中没有的元素最多的集合：

令 T = ∅, N = 1 选择集S_k ∈ S₁, ..., S_M 在组 N 这样S_k = ma​​x_i(|S_{i sub> \ T|)} 令 T = T ∪ S_k 如果最后一个组退出，否则 N = N + 1 并转到步骤 2。

答案显然取决于几个问题：

初始组 处理组的顺序 当

ma​​x

不唯一时选择 S_k

要缓解这些问题，您可以跟踪多个解决方案T。例如，在每一步都保留前 2 或 3 个解决方案。然后在退出时保持最大的解决方案。

【讨论】：

谢谢。是的，这是个好主意。但是（我很抱歉，但我完全忘记在最初的问题发布中提到这一点）我实际上只是在寻找上限，这似乎是一个下限。