一棵树的左孩子右兄弟表示是啥？你为啥要使用它？

Posted 2023-03-31

【中文标题】一棵树的左孩子右兄弟表示是啥？你为啥要使用它？

【英文标题】：What is the left-child, right-sibling representation of a tree? Why would you use it?一棵树的左孩子右兄弟表示是什么？你为什么要使用它？

【发布时间】：2012-12-23 23:30:46

【问题描述】：

许多数据结构使用称为 "left-child, right-sibling" 表示的表示将多路树存储为二叉树。这是什么意思？为什么要使用它？

【参考方案1】：

左子右兄弟表示 (LCRS) 是一种使用 multi-way tree（每个节点可以有任意数量的子节点的树结构）编码的方式>binary tree（每个节点最多可以有两个子节点的树形结构）。

动机

为了激发这种表示的工作原理，让我们首先考虑一个简单的多路树，如下所示：

                   A
                 //|\ \
               / / | \  \
              B C  D  E  F
              |   /|\   / \
              G  H I J K   L

（为低质量的 ASCII 作品道歉！）

在这个树结构中，我们可以从树中的任何节点向下导航到它的任何子节点。例如，我们可以从 A 迁移到 B，A 迁移到 C，A 迁移到 D，等等。

如果我们想在这样的树中表示一个节点，我们通常会在这里使用某种节点结构/节点类（用 C++ 编写）：

struct Node 
    DataType value;
    std::vector<Node*> children;
;

在 LCRS 表示中，我们以每个节点最多需要两个指针的方式表示多路树。为此，我们将稍微重塑树。不是让树中的每个节点都存储指向其所有子节点的指针，而是通过让每个节点仅存储指向其子节点之一的指针（在 LCRS 中，最左边的子节点），以稍微不同的方式构造树。然后，我们将让每个节点存储一个指向其右兄弟节点的指针，即树中的下一个节点，它是同一父节点的子节点。在上述树的情况下，我们可以用以下方式表示树：

            A
           /
          /
         /
        B -> C -> D -> E -> F
       /         /         /
      G         H->I->J   K->L

请注意，在这个新结构中，仍然可以从父节点导航到其第 k 个子节点（零索引）。这样做的过程如下：

下降到当前节点的左子节点。 （这是其子节点列表中的第一个节点）。 跟随该孩子的右兄弟指针 k 次。 （这会将您带到节点的第 k 个子节点）。 返回那个节点。

例如，要找到根节点 A 的第三个（零索引子节点），我们将下降到最左边的子节点 (B)，然后沿着三个右边的链接（访问 B、C、D，最后是 E） .然后我们到达 E 的节点，它包含节点 A 的第三个子节点。

以这种方式表示树的主要原因是，即使任何节点可能有任意数量的子节点，该表示法也需要每个节点最多两个指针：一个节点存储最左边的子节点，一个指针存储最左边的子节点。正确的兄弟姐妹。因此，我们可以使用更简单的节点结构来存储多路树：

struct Node 
    DataType data;
    Node* leftChild;
    Node* rightSibling;
;

此节点结构与二叉树中的节点形状完全相同（数据加上两个指针）。因此，LCRS 表示可以使用每个节点仅使用两个指针来表示任意多路树。

分析

现在让我们看一下多路树的两种不同表示的时间和空间复杂度以及一些基本操作。

让我们首先查看初始“动态子数组”表示所需的总空间使用量。 n 节点树的总内存使用量是多少？好吧，我们知道以下内容：

每个节点，无论其子节点数量如何，都会为存储的原始数据 (sizeof(data)) 和动态数组的空间开销贡献空间。动态数组（通常）存储一个指针（指向分配的数组），一个机器字用于动态数组中的元素总数，以及（可选）一个机器字用于数组的分配容量。也就是说每个节点占用sizeof(Data) + sizeof(Node *) + 2 * sizeof(machine word)空间。

在树中的所有动态数组中，将有 n - 1 个指向子节点的指针，因为树中的 n - 1 个节点有父节点。这增加了一个额外的 (n - 1) * sizeof(Node *) 因子。

因此，总空间使用量为

n·(sizeof(Data) + sizeof(Node*) + 2 * sizeof(机器字)) + (n - 1) * sizeof(Node *)

= n * sizeof(Data) + (2n - 1) * sizeof(Node*) + 2n * sizeof(机器字)

现在，让我们将其与 LCRS 树进行对比。 LCRS树的每个节点存储两个指针（2 * sizeof(Node*)）和一个数据元素（sizeof(Data)），所以它的总空间为

n * sizeof(Data) + 2n * sizeof(Node *)

在这里我们看到了胜利：请注意，我们不是存储 2n * sizeof(machine word) 额外内存来跟踪分配的数组大小。这意味着 LCRS 表示使用的内存比常规多路树要少得多。

然而，对 LCRS 树结构的基本操作往往比它们在普通多路树上的相应操作花费更长的时间。具体来说，在以标准形式表示的多路树中（每个节点存储一个子指针数组），从一个节点导航到其第 k 个子节点所需的时间由跟随单个指针所需的时间给出。另一方面，在 LCRS 表示中，执行此操作所需的时间由跟随 k + 1 个指针（一个左子指针，然后是 k 个右子指针）所需的时间给出。因此，如果树具有较大的分支因子，则在 LCRS 树结构中进行查找可能比在相应的多路树结构中进行查找要慢得多。

因此，我们可以将 LCRS 表示视为在数据结构存储空间和访问时间之间提供time-space tradeoff。与原始多路树相比，LCRS 表示具有更少的内存开销，而多路树提供了对其每个子节点的恒定时间查找。

用例

由于 LCRS 表示涉及时空权衡，除非满足以下两个标准之一，否则通常不使用 LCRS 表示：

内存非常稀缺，或者 不需要随机访问节点的子节点。

如果您需要在主内存中存储一​​个惊人的多路树，则可能会出现情况 (1)。例如，如果您需要存储一个phylogenetic tree，其中包含许多需要频繁更新的不同物种，那么 LCRS 表示可能是合适的。

情况 (2) 出现在专门的数据结构中，其中树结构以非常特定的方式使用。例如，许多使用多路树的heap data structures 类型可以通过使用 LCRS 表示进行空间优化。主要原因是在堆数据结构中，最常见的操作往往是

删除树的根并处理其每个子节点，或 通过使一棵树成为另一棵树的子级，将两棵树连接在一起。

操作 (1) 可以在 LCRS 表示中非常有效地完成。在 LCRS 表示中，树的根永远不会有右孩子（因为它没有兄弟姐妹），因此移除根仅意味着剥离根节点并下降到其左子树。从那里，可以通过简单地沿着剩余树的右脊骨依次处理每个节点来处理每个子节点。

操作（2）也可以非常有效地完成。回想一下，在 LCRS 表示中，树的根永远不会有右孩子。因此，在 LCRS 表示中很容易将两棵树连接在一起，如下所示。从这样的两棵树开始：

    R1             R2
   /               /
 (children 1)    (children 2)

我们可以这样将树融合在一起：

             R1
            /
           R2
          /  \
(children 2) (children 1)

这可以在 O(1) 时间内完成，而且非常简单。 LCRS 表示具有此属性的事实意味着许多类型的堆优先级队列，例如 binomial heap 或 rank-pairing heap 通常表示为 LCRS 树。

希望这会有所帮助！

【讨论】：

这是一个很好的答案！它帮助我理解了我的数据结构课程的 LCRS。谢谢！

哇！ LCRS的真棒解释！非常感谢！

你能告诉我在哪些参考书中讨论了这个话题吗？在任何地方都找不到它...

@Mahesha999 我不确定这会直接出现在任何参考书上。在谈论二项式堆之类的数据结构时，通常会顺便讨论一下，但我无法想象有人会写 -深度书籍章节。

@Zephyr 不过，想出一种表示这种树的方法并不难。您可以添加标记为“我实际上不是节点”的虚拟节点来标记缺失的节点，或者您可以使用索引标记每个节点以标记该节点属于哪个逻辑位置。