比较两棵 Merkle 树的时间复杂度是多少？

Posted 2023-03-29

【中文标题】比较两棵 Merkle 树的时间复杂度是多少？

【英文标题】：What is the time complexity of comparing two Merkle trees?

【发布时间】：2021-10-11 19:01:34

【问题描述】：

我有一个简单的递归函数，它比较两个默克尔树并累积叶节点中的差异。但是，我无法衡量它的时间复杂度。具体来说，我想看看它与比较两个哈希表或两个 BST 相比如何。在这种情况下，一组叶子是一行，它们共享一个 rowid。一组行构成了整个 merkle 树。在下面的代码中，我只是在叶级别累积差异。

def diff_helper(node1: MNode, node2: MNode, diff: List[Difference]):
    if not node1 and not node2:
        return
    elif node1.rowid==node2.rowid and node1.signature==node2.signature and node1.nodetype==NodeType.Row and node2.nodetype==NodeType.Row:
        return
    elif node1.rowid==node2.rowid and node1.signature!=node2.signature and node1.nodetype==NodeType.Row and node2.nodetype==NodeType.Row:
        diff_helper(node1.left, node2.left, diff)
        diff_helper(node1.right, node2.right, diff)
    elif node1.rowid==node2.rowid and node1.signature!=node2.signature and node1.nodetype==NodeType.Leaf and node2.nodetype==NodeType.Leaf:
        diff.append(Difference(node1.rowid, node1.column, node1.value, node2.value))
    else:
        diff_helper(node1.left, node2.left, diff)
        diff_helper(node1.right, node2.right, diff)

时间复杂度：

在最好的情况下，我看到这是一个常量操作，因为两棵树的根哈希是相同的。在最坏的情况下，比较的次数是所有叶子节点的总数。

问题：

我可以感觉到 merkle 树比普通哈希表做得更好，因为它能够更快地修剪树。但是，我无法用 Big O 术语来表示这一点。

类似的哈希表实现是遍历第二个哈希表的 rowid 和恒定时间查找。一旦找到 rowid 的值，如果叶级数据存储为哈希表，您可能会对每个叶进行线性比较。

【参考方案1】：

这是output-sensitive algorithm 的一个很好的例子，其最坏情况下的运行时间通过引入一个新数量来最准确地指定。对于这个问题，如果 h 是树的高度，d 是叶子差异的数量，那么最坏的情况是 O(d + d (h - log d))。在树的第 ℓ 层，我们最多可以有 min(2^ℓ, d) 个具有差异的节点，我们可以将匹配节点的成本收取给它们的父节点，所以我们只需要绑定这个总和.交叉点是 ℓ = log d，所以 ∑_{ℓ=0...log d} 2^ℓ 是 2^log d + 1 - 1 = Θ(d)。然后还有 h - log d 个级别，还有 d 个差异。