如何找到具有某个标签的后代叶节点的最低祖先？

Posted 2023-03-29

【中文标题】如何找到具有某个标签的后代叶节点的最低祖先？

【英文标题】：How does one find the lowest ancestor with a descendant leaf node with some label?

【发布时间】：2018-07-26 11:19:20

【问题描述】：

问题

给定一个有 n 个节点的有根树，其中所有叶子都从一组标签中标记出来。构建一个数据结构，给定叶节点 a 和标签 l，可以找到 a 的最低祖先 u ，其中 u 至少有一个标签为 l 的后代。

线性空间/线性时间方法

从叶

a

开始 检查

a

的所有兄弟姐妹 如果兄弟姐妹有标签

l

，则查找

a

和该兄弟姐妹之间的最低共同祖先。 否则继续父母 如果所有从父母传下来的叶节点都没有标记为

l

，则继续到祖父母并检查他们的叶节点后代。 继续递归检查大祖父母及其所有后代叶节点，直到找到标记为

l

的后代。

这具有时间复杂度 O(n) 和空间复杂度 O(n)。

---

有没有更快的方法来处理线性空间复杂度？也许通过某种方式对树进行预处理？ l 和 a 不是固定的，因此预处理必须灵活。

可以通过 Eulerian-Tour 使用 RMQ 在恒定时间内找到最低的共同祖先。

请记住，树不是以任何方式平衡或排序的。

【问题讨论】：

如果a 和l 是兄弟姐妹，那么根据定义它们共享同一个父节点，即最低的共同祖先。 a 的“兄弟姐妹”在这里是什么意思？另外，你的节点有父指针吗？

@JimMischel 是的，如果 a 和标签为 l 的某个节点是兄弟节点，那么是的，父节点将是最低的共同祖先。我只是使用“较低的共同祖先”，以便它适用于任何两个叶节点。

如果您愿意在预处理上花费时间和内存，您可以创建一个查找表，为您提供 O(1) 查询。内存需求为 O(m^2)，其中 m 是叶节点的数量。

是的，但是该算法适用于没有额外数据结构的任意树。所以预处理会考虑时间复杂度。不过谢谢！

如果你想对一棵树进行一次查询，那么最坏情况的时间复杂度是 O(n)，因为你可能必须查看每个节点。最坏情况下的空间复杂度为 O(n)，因为在退化树中，您可能必须维护包含树中每个节点的路径。鉴于您概述的限制，我认为您无法提高复杂性。

【参考方案1】：

所以，现在我找到了更好的解决方案：

思路如下： 欧拉路径中出现的两个节点越多，它们的 LCA 就越高。 IE。 index(a) < index(b) < index(c) => dist_to_root(LCA(a, b)) >= dist_to_root(LCA(a, c))。

这意味着你只需要计算 a 的 LCA 和 a 之后的第一个节点，路径中带有标签 l，以及 a 的 LCA 和 a 之前的最后一个节点，路径中带有标签 l。

其中一个会给出问题的最佳解决方案。

为了有效地找到这两个索引，为每个标签创建一个索引列表，并在 O(log n) 中执行二进制搜索。

内存复杂度为 O(n)。

【讨论】：

但是创建索引列表不需要 O(n) 时间吗？

@JimMischel 是的，但您只需要在预处理期间执行一次。

请注意，LCA = "最低共同祖先：和"欧拉路径" = "树的欧拉图表示" (en.wikipedia.org/wiki/Euler_tour_technique)，这也可以将 LCA 问题转换为“范围最小查询”，您也可以在 O(log N) 中执行此操作。请参阅 geeksforgeeks.org/find-lca-in-binary-tree-using-rmq 和 en.wikipedia.org/wiki/Range_minimum_query

@MattTimmermans 是的，我知道。它甚至可以在 O(1) 中完成。 OP已经写过他知道如何完成这项任务，所以我没有在回答中解释。

@user38034 谢谢！我会试一试。是的，通过在预处理中计算欧拉路径和 BST，查询可以在 O(log n) 时间复杂度内完成。考虑到您的回复，这可能会被推到 O(log log n) 使用y-fast-tries。

【参考方案2】：

这是一个具有 O(log(n)^3) 时间复杂度和 O(n log(n)) 空间复杂度的解决方案。

让L 成为您在欧拉路径上遇到的标签列表。您使用此列表构建一个段树，并将出现在相应段中的标签集存储在树的每个节点中。 然后，您可以在 O(log(n)^2) 时间内通过分段树中的范围查询来检查标签是否出现在子树中。

要找到正确的父级，您可以进行二分搜索。例如。类似于二元提升的东西。这将增加 log(n) 的另一个因素。

【讨论】：

谢谢！有没有办法把这个方法塞进线性空间复杂度？

@DannyDannyDanny 不，我不这么认为。