计算递归使用重复展开

Posted 2023-03-27

【中文标题】计算递归使用重复展开

【英文标题】：Calculate the recurrence use repeated unfolding

【发布时间】：2018-03-25 19:25:57

【问题描述】：

我正在尝试计算 T (n) = 2 T (n/2) + n (log n)^2。 按照我得到的步骤：

=2^kT(n/2^k)+ nlog2 (n/2^(k-1))+ nlog2 (n/2^(k-2))+…+ n(log (n/2))^2 + n (log2 n)^2

当 n=2^k 我得到：

但我不知道如何简化求和公式并获得 Θ() 表示法。 任何人都可以帮忙吗？非常感谢

【问题讨论】：

提示：闭式级数解在索引i 中是二次的。扩展它以给出三个系列并使用整数幂求和的标准公式

对数幂求和的标准公式是什么（不是整数）？

如果您使用对数规则，您会发现实际上是对整数幂而不是对数本身求和，后者是“系数”。我会尽快发布答案

好的，谢谢

【参考方案1】：

你的总结在我看来不太正确。让我们重新推导它：

...在m 迭代之后。假设停止条件为n = 1（不失一般性）：

... 我们使用了两个对数规则。如您所见，总和实际上是“免费索引”而不是日志本身。使用以下整数幂和：

...我们得到：

为了评估 Θ-notation，最高阶项是：

【讨论】：

非常感谢！您能在 m 次迭代后解释为什么要删除 2^m*T() 吗？我可以使n = 2 ^ m吗？例如，如果 T (n) 是 n

这就是“停止条件”的意思——满足后不再递归。您可以使用 n=2^m 以另一种方式进行，但我认为自上而下的方法更直观

非常感谢，迁移后为什么要删除“2^mT()”的问题？应该是nC（C是常数）

不确定您所说的“迁移”是什么意思？通常在停止条件下，函数只返回一个常量，无论如何都可以忽略。

是的，我的意思是 T(n/2^m) 可以忽略，但也许可以将 2^m 解释为 n？

【参考方案2】：

如果你看过Master theorem，你会发现你问的问题其实是Master Theorem的2nd案例（参考上面的链接）。

所以，这里是a=2、b=2 和f(n) = 0[n^(c_crit)(log n)^k]，其中k=2 和c 称为c_crit = log a to base b = 1。

所以，根据主定理，T(n) = 0[(n^c_crit)(log k)^(k+1)] = 0[n(log n)^3]

【讨论】：

@flower 如果您想接触更多此类问题，请查看此处 (dei.unipd.it/~geppo/DA2/DOCS/recurrences.pdf)。如果您参考该链接，可能您的大部分疑问都会得到解决。

非常感谢，但您知道对数幂（不是整数）求和的标准公式吗？因为对于这个我想尝试没有主定理。只需这最后一步，我就能得到它。在这种情况下，只需证明总和为 (logn)^3。

@flower 你想要哪种日志功率！因为泛化它是非常困难的。对于整数，不管它有多长和多复杂，你仍然可以找出来。对数，不容易！！