仍然不了解 Big-O 与最坏情况时间复杂度

Posted 2023-02-16

【中文标题】仍然不了解 Big-O 与最坏情况时间复杂度

【英文标题】：Still not understanding Big-O vs Worst Case Time Complexity

【发布时间】：2021-10-11 09:14:22

【问题描述】：

线性搜索花费时间的最坏情况是当项目位于列表/数组的末尾或不存在时。在这种情况下，算法将需要执行n 比较，以查看每个元素是否是所需的值，假设n 是数组/列表的长度。

根据我对大 O 表示法的理解，说这个算法的时间复杂度是 O(n) 是有道理的，因为它可能会发生最坏的情况，并且在以下情况下使用大 O我们想对“最坏情况”进行保守估计。

从 Stack Overflow 上的很多帖子和答案来看，这种想法似乎是有缺陷的，诸如 Big-O 表示法与最坏情况分析无关。

请帮助我理解这种区别，而不仅仅是增加我的困惑，就像这里的答案：Why big-Oh is not always a worst case analysis of an algorithm? 那样。

我没有看到 big-O 与最坏情况分析无关。在我目前的山顶上，看起来 big-O 表示最坏情况如何随着输入大小的增长而增长，这似乎与最坏情况分析非常“相关”。

诸如此类的声明，来自https://medium.com/omarelgabrys-blog/the-big-scary-o-notation-ce9352d827ce：

例如，最坏情况分析给出了假设输入处于最坏可能状态的最大操作数，而大 o 表示法表示在最坏情况下完成的最大操作数。

帮不上什么忙，因为我看不出所指的是什么区别。

非常感谢任何增加的清晰度。

【参考方案1】：

大 O 表示法确实独立于最坏情况分析。它适用于您想要的任何功能。

在线性搜索的情况下，

最坏情况的复杂度是 O(n)（实际上甚至是 Θ(n)），

平均情况复杂度是 O(n)（实际上甚至是 Θ(n)），

最佳情况下的复杂度是 O(1)（实际上甚至是 Θ(1)）。

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因此，大 O 和最坏情况是不同的概念，尽管算法运行时间的大 O 界限必须适用于最坏情况。

【参考方案2】：

是这样的：

如果找到问题解决方案的算法在O(f(n)) 中，则意味着通过算法找到问题解决方案的最坏情况在O(f(n)) 中。换句话说，如果最坏的情况可以通过算法在g(n)步骤中找到，那么g(n)在O(f(n))中。

例如，对于搜索算法，正如您所提到的，我们知道最坏的情况可以在O(n) 中找到。现在，虽然算法在O(n) 中，但我们可以说算法也在O(n^2) 中。如您所见，这是 Big-Oh 复杂性和最坏情况之间的区别。

总之，算法的最坏情况复杂度是算法 Big-Oh 复杂度的子集。