是否有比 O(N²) 更好的算法来确定矩阵是否对称？

Posted 2023-03-15

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【中文标题】是否有比 O(N²) 更好的算法来确定矩阵是否对称？【英文标题】：Is there an algorithm better than O(N²) to determine if matrix is symmetric? 【发布时间】：2013-12-02 22:19:14 【问题描述】：

算法要求

输入是大小为N×N 的任意方阵M，正好适合内存。

算法的输出必须是true，如果是M[i,j] = M[j,i]，对于所有j≠i，否则false。

明显的解决方案

检查转置是否等于矩阵本身 (M^T=M)。在许多环境中最容易编程，但（通常）消耗两倍的内存并且需要N² 比较最坏的情况。因此，这是 O(N²) 并且具有高峰值内存。

检查下三角部分是否等于上三角部分。当然，算法返回找到的第一个不等式。这将使最坏的情况（最坏的情况是，矩阵确实是对称的）需要N²/2 - N 比较，因为不需要检查对角线。所以虽然比选项1好，但这仍然是O(N²)。

问题

虽然很难看出它是怎么可能的（N² 元素都必须以某种方式进行比较），但有没有比 O(N²) 更好的算法来做这个检查？

或者，如果有证据证明不存在这种算法：如何在考虑到缓存友好性、最佳分支预测等因素的情况下最有效地为多核 CPU（Intel 或 AMD）实现这一点编译器特定的特化等？

这个问题主要源于学术兴趣，尽管我认为实际用途可能是确定如果矩阵描述线性系统AX=b...

【问题讨论】：

你能有一个稀疏矩阵表示吗？ @Leeor: 是的，full 或 sparse 都应该支持我只是说，对于稀疏图，如果元素的数量明显低于 n^2，您可能会获得更好的复杂性对不起，因为我要说的可能很愚蠢。但是这里的 O(N^2) 让我感到困惑。如果您有一个大小为 S 的矩阵 M，其中 s=nxn，并且您的算法正在执行 S 次比较，那不是 O(n) 吗？ @Pedrom 这将是 O(S)，而不是 O(n)，并且 O(S) 是 O(n^2)。 【参考方案1】：

由于您必须检查除对角线之外的所有元素，因此 IMO 的复杂度不能优于 O (n^2)。

【讨论】：

我也是这么想的，但这也是我第一次考虑排序时的想法：）我希望可以使用一些类似的“聪明的技巧”...... @RodyOldenhuis 对于矩阵 O(n^2) 等价于 no。元素，因为有 N^2 个元素。我看不出你怎么能做得比这更好。我知道，但如果我对算法有什么了解的话，那就是“我看不出如何......”不是支持“它不存在”的论据。 @RodyOldenhuis 要获得正确的输出，您必须知道每个输入的某些属性，因为您没有给出输入矩阵的属性，因此您至少必须检查矩阵的所有元素。有些人争辩说，当他们说二进制搜索是 O(logn) 时，它小于读取每个值一次，但是考虑到数组是排序的，有一个重要的属性告诉我们每个元素的数字比它前面的数字小，比它的数字大在它之后。这对于二分搜索的每个元素来说已经足够了。复杂度不能小于 N^2，因为必须读取 N^2 - N 个值。证明结束。排序没有帮助。有 N^2 个元素，因此使用比较排序对它们进行排序将按顺序 (N^2*log(N^2) = O(N^2*logN) 已经大于 order(N^2)。 【参考方案2】：

对于密集矩阵，答案是肯定的“否”，因为任何未经检查的（非对角线）元素都可能与其转置的对应元素不同。

对于稀疏矩阵的标准表示，同样的推理表明您通常不能比输入大小做得更好。

但是，同样的推理不适用于任意矩阵表示。例如，您可以存储矩阵的对称和反对称分量的稀疏表示，通过检查反对称元素是否有任何分量，可以在 O(1) 时间内轻松检查对称性...

【讨论】：

【参考方案3】：

我认为您可以在这里采用概率方法。

我认为x 随机选择的较低坐标元素将与其上三角对应部分匹配并不是偶然/巧合。矩阵确实对称的可能性非常高。

因此，您可以检查 p 随机坐标并确定矩阵是否对称，而不是遍历所有 ½n² - n 元素：