生成一个包含所有可能掷骰子结果的矩阵（忽略顺序）

Posted 2023-03-14

【中文标题】生成一个包含所有可能掷骰子结果的矩阵（忽略顺序）

【英文标题】：Generate a matrix of all possible outcomes for throwing n dice (ignoring order)

【发布时间】：2011-02-22 23:55:22

【问题描述】：

在顺序确实很重要的情况下，生成所有可能结果的矩阵相当容易。一种方法是使用expand.grid，如here 所示。

如果没有怎么办？

如果我是对的，可能的组合数是(S+N-1)!/S!(N-1)!，其中 S 是骰子的数量，每个骰子的 N 面编号为 1 到 N。（它与众所周知的组合公式不同，因为它是可能的相同的数字出现在多个骰子上）。例如，当掷四个六面骰子时，N=6，S=4，所以可能的组合数是（4+6-1）！/4！（6-1）！ = 9!/4!x5! = 126. 如何生成这 126 种可能结果的矩阵？

谢谢。

【问题讨论】：

重新标记以添加骰子和算法。

【参考方案1】：

这是 gd047 和 Marek 提供的代码。

S <- 6 
N <- 4 
n <- choose(S+N-1,N) 
outcomes <- t(combn(S+N-1,N,sort)) - matrix(rep(c(0:(N-1)),each=n),nrow=n)

注意：从某种意义上说，这是最佳的，它不会尝试生成所有内容然后丢弃被骗者。 It actually generates only those that are required.

解释其工作原理：

骰子上可能的数字是 1 到 N。

假设给定骰子编号的可能组合： x₁ , x₂ , ..., x_S 其中 S是骰子的数量。

由于顺序无关紧要，我们可以假设

x₁ ≤ x₂ ≤ ..., ≤ x_S.

现在考虑序列 x₁, x₂ + 1, x₃ + 2, ..., x_S + S-1.

（例如：1,1,1 变为 1,1+1,1+2 = 1,2,3）。

这个新序列的数字从 1 到 N+S-1 并且所有数字都是不同的。

从您的骰子序列到我们创建的新序列的映射是 1-1 并且很容易可逆。

因此要生成 S 骰子与数字 1 到 N 的可能组合，您需要做的就是生成所有 N+S-1 从 1、2、...、N+S 中选择 S 个数字的 S 组合-1。给定这样的组合，您对其进行排序，从最小的减去 0，从第二小的减去 1，依此类推，得到 S 骰子的骰子编号组合，编号为 1 到 N。

例如，假设 N = 6 和 S = 3。

您生成 1 到 6+3-1 = 8 的 3 个数字的组合，即 1,2,...,8 的 3 个数字。

假设你得到 3,6,7。这转换为 3, 6-1, 7-2 = 3,5,5。

如果你有 1,2,8。这将转换为 1,1,6。

顺便说一句，这个映射也证明了你的公式。

【讨论】：

@Moron 你是对的！我在阅读您的答案之前发布，注意到其中没有代码。毫无疑问，您首先回答了，所以我将我的代码添加为您的答案的评论。 S

@gd047。好的，我已经编辑了答案以添加您的代码。如果您觉得需要任何内容​​，请随时编辑答案。

这是一个非常全面的答案。代码提示：combn 可以对每个组合应用一个函数，因此apply(combn(S+N-1,N),2,sort) 可以替换为combn(S+N-1,N,sort)。

【参考方案2】：

一般来说，您需要从原始expand.grid 和unique 订购每个结果，例如使用 apply：

X <- expand.grid(1:6,1:6,1:6,1:6)
dim(unique(t(apply(X,1,sort))))
#[1] 126   4

但您可能会很棘手，选择所有排序结果的子集：

X <- expand.grid(1:6,1:6,1:6,1:6)
dim(subset(X, Var1>=Var2 & Var2>=Var3 & Var3>=Var4))
# [1] 126   4

第二个版本更快。