如何使用 numpy python 更改 SVD 的顺序

Posted 2023-03-12

【中文标题】如何使用 numpy python 更改 SVD 的顺序

【英文标题】：How change order of SVD using numpy python

【发布时间】：2019-02-13 13:28:29

【问题描述】：

我正在使用奇异值分解 (SVD) 对图像进行主成分分析 (PCA)。

我有 17 张 20 X 20 的图片 所以我创建了图像矩阵

M =  dim(400 X 17)

当我应用 SVD (M = u @ d @ v) 时，它给了我

u = dim(400 X 17)
d = dim(17 X 17)   
v = dim(17 X 17)

但我想找到 u = dim(400 X 400) 和 d =(400 X 400) 和 v =(400 X 17) 因为会有 400 个特征向量和 400 个特征值。

我什至尝试过转置但没有成功

我知道问题的标题可能不太清楚，所以请随意更改，这里有一些与数据相关的信息

我通过减去平均人脸来集中数据

我尝试通过查找协方差矩阵 (MM') 的特征向量来解决问题，但是当我尝试显示 PCA1 时，它只显示黑色图像

请帮帮我

【问题讨论】：

“400 个特征向量和 400 个特征值”——对于 17 阶的矩阵？没有。

【参考方案1】：

没有为矩形矩阵定义特征值，但奇异值是相关的。至于特征向量，你总是有一组跨越列和行空间的左右特征向量。

SVD与MM'和M'M的特征值分解有关

M'M = V (S'S) V' MM' = U (SS') U'

现在

V 的列是M'M 的特征向量，在您的情况下其大小为(17 x 17)。因此V 是(17 x 17) U 的列是MM' 的特征向量，在您的情况下其大小为(400 x 400)。因此U 是(400 x 400)

现在S 的大小是多少？ S 的非零元素（奇异值）是 M'M 和 MM' 的非零特征值的平方根。可以看出这两个具有相同的非零特征值集，因此在第一种情况下S 是(17 x 17)，在第二种情况下(400 x 400)。我们如何协调这与我们的 SVD 是 M = USV' 的事实？我们用 17 个非零特征值的平方根构建了一个 rectangular diagonal matrix (400 x 17)。

您可以使用来自scipy的SVD：

import scipy

u, s, vh = scipy.linalg.svd(M, full_matrices=True)
print(u.shape, s.shape, vh.shape)

给了

((400, 400), (17,), (17, 17))

将您的S 转至(400 x 17)：

s = np.concatenate([np.diag(s), np.zeros((400-17, 17))], axis=0)

检查 SVD 正确性：

res = u@s@vh
np.allclose(res, a)

True

低秩矩阵逼近

有时你想近似你的矩阵M 用一个低秩M_tilde 秩r，在这种情况下，如果你想最小化两者之间的 Frobenius 范数，您只需保留r 最大奇异值（Eckhart-Young 定理）。 U, S, V 的大小变为：(400 x r), (r x r), (r x 17)，其中S 是对角线。

我不知道您使用的是哪个函数，但这就是正在发生的事情：零奇异值被丢弃，因为 (m x n) 矩阵最多可以有 min(m, n) 等级（在您的情况下为 17） .