NumPy：如何快速归一化许多向量？

Posted 2023-03-12

【中文标题】NumPy：如何快速归一化许多向量？

【英文标题】：NumPy: how to quickly normalize many vectors?

【发布时间】：2011-02-20 11:59:57

【问题描述】：

如何在 NumPy 中优雅地标准化向量列表？

这是一个不工作的例子：

from numpy import *

vectors = array([arange(10), arange(10)])  # All x's, then all y's
norms = apply_along_axis(linalg.norm, 0, vectors)

# Now, what I was expecting would work:
print vectors.T / norms  # vectors.T has 10 elements, as does norms, but this does not work

最后一个操作产生“形状不匹配：无法将对象广播到单个形状”。

如何使用 NumPy 优雅地完成 vectors 中的二维向量的归一化？

编辑：为什么在向norms 添加维度时上述方法不起作用（根据我下面的回答）？

【问题讨论】：

仅供参考，评论者可能有更快的方法，我更详细地编辑了我的答案。

【参考方案1】：

好的：NumPy 的数组形状广播将维度添加到数组形状的左侧，而不是右侧。然而，可以指示 NumPy 在 norms 数组的右侧添加一个维度：

print vectors.T / norms[:, newaxis]

确实有效！

【讨论】：

请注意，我使用norms[..., np.newaxis] 以防矩阵不只是二维。它也适用于 3D（或更多）张量。

【参考方案2】：

好吧，除非我错过了什么，这确实有效：

vectors / norms

你建议的问题是广播规则。

vectors  # shape 2, 10
norms  # shape 10

形状的长度不一样！所以规则是首先在左侧将小形状扩展一个：

norms  # shape 1,10

您可以通过调用手动执行此操作：

vectors / norms.reshape(1,-1)  # same as vectors/norms

如果要计算vectors.T/norms，则必须手动进行整形，如下所示：

vectors.T / norms.reshape(-1,1)  # this works

【讨论】：

为什么不直接做 (vectors/norms).T 如果 OP 想要这个转置。在我看来，它既简单又优雅。

啊，啊！所以维度扩展是在 left 上完成的：这确实解释了观察到的行为。谢谢！

【参考方案3】：

计算幅度

我遇到了这个问题，并对您的标准化方法感到好奇。我使用不同的方法来计算幅度。 注意：我通常还计算最后一个索引的范数（在这种情况下是行，而不是列）。

magnitudes = np.sqrt((vectors ** 2).sum(-1))[..., np.newaxis]

不过，通常情况下，我只是这样标准化：

vectors /= np.sqrt((vectors ** 2).sum(-1))[..., np.newaxis]

时间比较

我跑了一个测试比较时间，发现我的方法快了不少，但是Freddie Witherdon的建议更快。

import numpy as np    
vectors = np.random.rand(100, 25)

# OP's
%timeit np.apply_along_axis(np.linalg.norm, 1, vectors)
# Output: 100 loops, best of 3: 2.39 ms per loop

# Mine
%timeit np.sqrt((vectors ** 2).sum(-1))[..., np.newaxis]
# Output: 10000 loops, best of 3: 13.8 us per loop

# Freddie's (from comment below)
%timeit np.sqrt(np.einsum('...i,...i', vectors, vectors))
# Output: 10000 loops, best of 3: 6.45 us per loop

但请注意，正如 *** answer 所指出的，einsum 没有进行一些安全检查，因此您应该确保 vectors 的 dtype 足以足够准确地存储幅度的平方.

【讨论】：

有趣的计时结果（我分别得到了0.8 s和1.4 s，IPython更健壮的%timeit函数），谢谢！

我发现np.sqrt(np.einsum('...i,...i', vectors, vectors)) 比上面给出的方法 1 快约 4 倍。

@FreddieWitherden - 感谢您的评论，我不知道 einsum。这里有一个有趣的相关 SO 问题：***.com/questions/18365073/… 它通常会更快，但可能不安全（取决于向量的dtype）。

@FreddieWitherden，你的方法给了我不同的（但np.allclose）值。

@EOL - 谢谢，我切换到 ipython，并更新了我的答案。事实证明，我的巨大阵列造成了一些严重的开销。使用较小的（在我的新答案中）速度差异更加明显。

【参考方案4】：

scikit learn中已经有一个函数了：

import sklearn.preprocessing as preprocessing
norm =preprocessing.normalize(m, norm='l2')*

更多信息请访问：

http://scikit-learn.org/stable/modules/preprocessing.html

【讨论】：

有趣的信息，但问题明确是关于 NumPy。最好将其放在对原始问题的评论中。

【参考方案5】：

我首选的向量归一化方法是使用 numpy 的 inner1d 来计算它们的大小。这是迄今为止与 inner1d 相比的建议

import numpy as np
from numpy.core.umath_tests import inner1d
COUNT = 10**6 # 1 million points

points = np.random.random_sample((COUNT,3,))
A      = np.sqrt(np.einsum('...i,...i', points, points))
B      = np.apply_along_axis(np.linalg.norm, 1, points)   
C      = np.sqrt((points ** 2).sum(-1))
D      = np.sqrt((points*points).sum(axis=1))
E      = np.sqrt(inner1d(points,points))

print [np.allclose(E,x) for x in [A,B,C,D]] # [True, True, True, True]

使用 cProfile 测试性能：

import cProfile
cProfile.run("np.sqrt(np.einsum('...i,...i', points, points))**0.5") # 3 function calls in 0.013 seconds
cProfile.run('np.apply_along_axis(np.linalg.norm, 1, points)')       # 9000018 function calls in 10.977 seconds
cProfile.run('np.sqrt((points ** 2).sum(-1))')                       # 5 function calls in 0.028 seconds
cProfile.run('np.sqrt((points*points).sum(axis=1))')                 # 5 function calls in 0.027 seconds
cProfile.run('np.sqrt(inner1d(points,points))')                      # 2 function calls in 0.009 seconds

inner1d 计算头发的幅度比 einsum 快。所以使用 inner1d 进行归一化：

n = points/np.sqrt(inner1d(points,points))[:,None]
cProfile.run('points/np.sqrt(inner1d(points,points))[:,None]') # 2 function calls in 0.026 seconds

针对 scikit 进行测试：

import sklearn.preprocessing as preprocessing
n_ = preprocessing.normalize(points, norm='l2')
cProfile.run("preprocessing.normalize(points, norm='l2')") # 47 function calls in 0.047 seconds
np.allclose(n,n_) # True

结论：使用 inner1d 似乎是最好的选择

【讨论】：

作为参考，这个问题实际上要求计算沿 first 维度的范数，而不是第二个维度（请参阅添加到 Geoff 答案中的警告）。这将如何改变结果？由于访问内存的方式，可能会产生影响，特别是如果您有更大的第二维（而不是示例中的 3）。

【参考方案6】：

对于二维情况，使用 np.hypot(vectors[:,0],vectors[:,1]) 计算量级似乎比 Freddie Witherden 的 np.sqrt(np.einsum('...i,...i', vectors, vectors)) 更快。 （参考 Geoff 的回答）

import numpy as np

# Generate array of 2D vectors.
vectors = np.random.random((1000,2))

# Using Freddie's
%timeit np.sqrt(np.einsum('...i,...i', vectors, vectors))
# Output: 11.1 µs ± 173 ns per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 100000 loops each)

# Using numpy.hypot()
%timeit np.hypot(vectors[:,0], vectors[:,1])
# Output: 6.81 µs ± 112 ns per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 100000 loops each)

要获得归一化的向量，请执行以下操作：

vectors /= np.hypot(vectors[:,0], vectors[:,1])