删除红黑树的整个子树会保留其属性吗？

Posted 2023-03-11

【中文标题】删除红黑树的整个子树会保留其属性吗？

【英文标题】：Deleting a whole subtree of a red-black tree would keep its properties?

【发布时间】：2011-08-05 15:09:49

【问题描述】：

我目前正在实现一个红黑树数据结构来为应用程序执行一些优化。

在我的应用程序中，在给定点，我需要从树中删除所有小于或等于给定值的元素（您可以假设这些元素是整数）。

我可以一个一个地删除元素，但我想要更快的东西。因此，我的问题是：如果我删除一棵红黑树的整个子树，我该如何修复这棵树以恢复高度和颜色不变量？

【参考方案1】：

从红黑树中批量删除很困难，因为黑高不变量被搞砸了。假设您没有进行（软）实时操作，我会一个一个地删除（因为您必须一个一个地插入它们，我们在这里讨论的是一个较小的常数因子）或切换到一个展开树.

【参考方案2】：

从红黑树中删除一个元素需要 O(log n) 时间，其中 n 是树中当前元素的数量。

如果你只删除了几个元素，那么最好只一个一个地删除它们，最终以 O(k log n) 操作结束（k = 删除的元素，n = 删除前树中的元素）。

但是如果你知道你要移除大量的节点（例如树的 50% 或更多），那么最好遍历你想要保留的元素 (O(k') 操作其中 k ' = 要保留的元素），然后报废树（O(1) 或 O(n)，具体取决于您的内存管理方案）并重建树（O(k' log k')）操作。总复杂度为 O(k')+O(k' log k') = O(k' log k')，当 k'

好吧，无论如何，当您要删除大部分元素时，最好在实践中枚举您想要保留的元素，然后重建树。

【参考方案3】：

编辑：下面是一个通用的子树删除。您需要的只是一个Split 操作（根据您的实际问题内容）。

在最坏的情况下O(log n)时间可以删除红黑树的整个子树。

已知Split和Join对红黑树的操作可以在O(log n)时间内完成。

Split : 给定一个值 k 和一个红黑树 T，将 T 拆分为两棵红黑树 T1 和 T2，使得 T1 中的所有值 = k.

Join : 将两棵红黑树 T1 和 T2 合并成一棵红黑树 T。 T1 和 T2 满足 T1 中的 max

你需要的是两个Splits和一个Join。

在您的情况下，您需要删除的子树将对应于一系列值L <= v <= U。

因此，您首先在 L 上 Split，在 T1 Split U 上的 T2 以在 T3 Join T1 和 T4 树。

在 pseudoCode 中，您的代码将如下所示：

Tree DeleteSubTree( Tree tree, Tree subTree) 

    Key L = subTree.Min();
    Key U = subTree.Max();

    Pair <Tree> splitOnL = tree.Split(L);
    Pair <Tree> splitOnU = splitOnL.Right.Split(U);

    Tree newTree = splitOnL.Left.Join(splitOnU.Right);

    return newTree;

更多信息请参见：https://cstheory.stackexchange.com/questions/1045/subrange-of-a-red-and-black-tree