在 Java 中测试素数的最快方法是啥？
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【中文标题】在 Java 中测试素数的最快方法是啥？【英文标题】：What would be the fastest method to test for primality in Java?在 Java 中测试素数的最快方法是什么？ 【发布时间】：2011-01-24 01:29:04 【问题描述】：我正在尝试找到检查给定数字是否为素数的最快方法（在 Java 中）。以下是我想出的几种素性测试方法。有没有比第二种实现（isPrime2）更好的方法？
public class Prime
public static boolean isPrime1(int n)
if (n <= 1)
return false;
if (n == 2)
return true;
for (int i = 2; i <= Math.sqrt(n) + 1; i++)
if (n % i == 0)
return false;
return true;
public static boolean isPrime2(int n)
if (n <= 1)
return false;
if (n == 2)
return true;
if (n % 2 == 0)
return false;
for (int i = 3; i <= Math.sqrt(n) + 1; i = i + 2)
if (n % i == 0)
return false;
return true;
public class PrimeTest
public PrimeTest()
@Test
public void testIsPrime() throws IllegalArgumentException, IllegalAccessException, InvocationTargetException
Prime prime = new Prime();
TreeMap<Long, String> methodMap = new TreeMap<Long, String>();
for (Method method : Prime.class.getDeclaredMethods())
long startTime = System.currentTimeMillis();
int primeCount = 0;
for (int i = 0; i < 1000000; i++)
if ((Boolean) method.invoke(prime, i))
primeCount++;
long endTime = System.currentTimeMillis();
Assert.assertEquals(method.getName() + " failed ", 78498, primeCount);
methodMap.put(endTime - startTime, method.getName());
for (Entry<Long, String> entry : methodMap.entrySet())
System.out.println(entry.getValue() + " " + entry.getKey() + " Milli seconds ");
【问题讨论】：
如果您需要知道这个数字是 100% 质数，那么您的解决方案是最好的。 我认为您的解决方案会很好。您可能会散列结果，因此您只需要“计算”一次。为什么要使用反射来执行测试？ @Stefan Hendriks 向类添加一个方法，触发测试，你会得到排序结果（我很懒）。 JUnit @Test 注解 FTW ;) @SimonT：问题在于a/4 与a>>2 不同，因为负数向上取整而不是向下取整。除非编译器可以证明a>=0，否则它必须生成一个相当复杂的表达式以避免除法（仍然是一个改进，但类似于 3 个周期而不是单个指令）。
【参考方案1】：
Jaeschke (1993) 提出的快速测试是 Miller-Rabin 测试的确定性版本，它没有低于 4,759,123,141 的误报，因此可以应用于 Java ints。
// Given a positive number n, find the largest number m such
// that 2^m divides n.
private static int val2(int n)
int m = 0;
if ((n&0xffff) == 0)
n >>= 16;
m += 16;
if ((n&0xff) == 0)
n >>= 8;
m += 8;
if ((n&0xf) == 0)
n >>= 4;
m += 4;
if ((n&0x3) == 0)
n >>= 2;
m += 2;
if (n > 1)
m++;
return m;
// For convenience, handle modular exponentiation via BigInteger.
private static int modPow(int base, int exponent, int m)
BigInteger bigB = BigInteger.valueOf(base);
BigInteger bigE = BigInteger.valueOf(exponent);
BigInteger bigM = BigInteger.valueOf(m);
BigInteger bigR = bigB.modPow(bigE, bigM);
return bigR.intValue();
// Basic implementation.
private static boolean isStrongProbablePrime(int n, int base)
int s = val2(n-1);
int d = modPow(base, n>>s, n);
if (d == 1)
return true;
for (int i = 1; i < s; i++)
if (d+1 == n)
return true;
d = d*d % n;
return d+1 == n;
public static boolean isPrime(int n)
if ((n&1) == 0)
return n == 2;
if (n < 9)
return n > 1;
return isStrongProbablePrime(n, 2) && isStrongProbablePrime(n, 7) && isStrongProbablePrime(n, 61);
这不适用于long 变量，但另一个测试可以：BPSW 测试没有反例高达 2^64。这基本上包括一个像上面这样的 2-strong probable prime test，然后是一个稍微复杂但没有根本不同的强大 Lucas 测试。
这两项测试都比任何类型的试验部门都快得多。
【讨论】：
【参考方案2】：一般来说，所有大于某个Primorial 整数C 的素数的形式为Ck+i for i < C，其中i 和k 是整数，i 表示与C
这是一个 C=30 的示例，它应该比 Bart Kiers 回答 C=6 的速度更快，您可以通过计算 C=210 来改进它
boolean isPrime(long n)
if(n < 2)
return false;
if(n == 2 || n == 3 || n == 5 || n == 7 || n == 11 || n == 13 || n == 17 || n == 19 || n == 23 || n == 29)
return true;
long sqrtN = (long) Math.sqrt(n) + 1;
int[] mods = 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29;
for (long i = 30L; i <= sqrtN; i += 30)
for (int mod : mods)
if(n % (i + mod) == 0)
return false;
return true;
【讨论】：
【参考方案3】：首先，素数从 2 开始。2 和 3 是素数。素数不能被 2 或 3 整除。其余素数的形式为 6k-1 和 6k+1。请注意，您应该检查直到 SQRT(input) 的数字。这种方法非常有效。希望对你有帮助。
public class Prime
public static void main(String[] args)
System.out.format("%d is prime: %s.\n", 199, isPrime(199)); // Prime
System.out.format("%d is prime: %s.\n", 198, isPrime(198)); // Not prime
System.out.format("%d is prime: %s.\n", 104729, isPrime(104729)); // Prime
System.out.format("%d is prime: %s.\n", 104727, isPrime(982443529)); // Prime
/**
* Tells if a number is prime or not.
*
* @param input the input
* @return If the input is prime or not
*/
private boolean isPrime(long input)
if (input <= 1) return false; // Primes start from 2
if (input <= 3) return true; // 2 and 3 are primes
if (input % 2 == 0 || input % 3 == 0) return false; // Not prime if dividable by 2 or 3
// The rest of the primes are in the shape of 6k-1 and 6k+1
for (long i = 5; i <= Math.sqrt(input); i += 6) if (input % i == 0 || input % (i + 2) == 0) return false;
return true;
【讨论】：
【参考方案4】：在 Intel Atom @ 1.60GHz、2GB RAM、32 位操作系统中测试
测试结果： Long.MAX_VALUE=9223372036854775807 以下的最大素数是 9223372036854775783 经过的时间是 171499 毫秒或 2 分 51 秒
public class PrimalityTest
public static void main(String[] args)
long current_local_time = System.currentTimeMillis();
long long_number = 9223372036854775783L;
long long_a;
long long_b;
if (long_number < 2)
System.out.println(long_number + " is not a prime number");
else if (long_number < 4)
System.out.println(long_number + " is a prime number");
else if (long_number % 2 == 0)
System.out.println(long_number + " is not a prime number and is divisible by 2");
else
long_a = (long) (Math.ceil(Math.sqrt(long_number)));
terminate_loop:
for (long_b = 3; long_b <= long_a; long_b += 2)
if (long_number % long_b == 0)
System.out.println(long_number + " is not a prime number and is divisible by " + long_b);
break terminate_loop;
System.out.println(long_number + " is a prime number");
System.out.println("elapsed time: " + (System.currentTimeMillis() - current_local_time) + " millisecond/s");
【讨论】：
【参考方案5】：算法效率：O(n^(1/2)) 算法
注意：下面的示例代码包含计数变量和对打印函数的调用以打印结果：
import java.util.*;
class Primality
private static void printStats(int count, int n, boolean isPrime)
System.err.println( "Performed " + count + " checks, determined " + n
+ ( (isPrime) ? " is PRIME." : " is NOT PRIME." ) );
/**
* Improved O( n^(1/2)) ) Algorithm
* Checks if n is divisible by 2 or any odd number from 3 to sqrt(n).
* The only way to improve on this is to check if n is divisible by
* all KNOWN PRIMES from 2 to sqrt(n).
*
* @param n An integer to be checked for primality.
* @return true if n is prime, false if n is not prime.
**/
public static boolean primeBest(int n)
int count = 0;
// check lower boundaries on primality
if( n == 2 )
printStats(++count, n, true);
return true;
// 1 is not prime, even numbers > 2 are not prime
else if( n == 1 || (n & 1) == 0)
printStats(++count, n, false);
return false;
double sqrtN = Math.sqrt(n);
// Check for primality using odd numbers from 3 to sqrt(n)
for(int i = 3; i <= sqrtN; i += 2)
count++;
// n is not prime if it is evenly divisible by some 'i' in this range
if( n % i == 0 )
printStats(++count, n, false);
return false;
// n is prime
printStats(++count, n, true);
return true;
public static void main(String[] args)
Scanner scan = new Scanner(System.in);
while(scan.hasNext())
int n = scan.nextInt();
primeBest(n);
System.out.println();
scan.close();
当输入质数 2147483647 时，它会产生以下输出：
执行了 23170 次检查，确定 2147483647 是 PRIME。
【讨论】：
【参考方案6】：当然有数百种素性检验，根据数的大小、特殊形式、因子大小等，都有各种优缺点。
然而，在 java 中我发现最有用的是这个：
BigInteger.valueOf(long/int num).isProbablePrime(int certainty);
它已经实现，而且速度非常快（我发现填充 0–2^64 和确定性为 15 的 1000x1000 矩阵大约需要 6 秒）并且可能比我们凡人想出的任何东西都更好地优化。
它使用了Baillie–PSW primality test 的一个版本，它没有已知的反例。 （虽然它可能使用稍弱的测试版本，有时可能会出错。也许）
【讨论】：
【参考方案7】：我认为这种方法是最好的。至少对我来说-
public static boolean isPrime(int num)
for (int i = 2; i<= num/i; i++)
if (num % i == 0)
return false;
return num > 1;
【讨论】：
【参考方案8】：看看AKS primality test（及其各种优化）。这是一个在多项式时间内运行的确定性素性检验。
在Java中有一个算法的实现from the University of Tuebingen (Germany) here
【讨论】：
***：“虽然该算法具有巨大的理论重要性，但它未在实践中使用。对于 64 位输入，Baillie– PSW 是确定性的，运行速度快了许多数量级。对于更大的输入，（也是无条件正确的）ECPP 和 APR 测试的性能远远优于 AKS。这就是在 O(n) 的定义中省略 乘法常数 的实际结果。 即使链接的实现也说“因此，AkS 测试仅对计算复杂性理论感兴趣。测试 2^13-1 需要大约 30 分钟才能有效实现。” 30 分钟测试号码 8191。这是一些非常缓慢的测试。有更快的 AKS 版本，但它仍然不是这个问题的好答案。 实现链接显然又死了，尽管archive.org中仍然存在：web.archive.org/web/20150717104434/http://…【参考方案9】：您迈出了消除所有 2 的倍数的第一步。
但是，你为什么停在那里？您可以消除除 3 之外的所有 3 的倍数，除 5 之外的所有 5 的倍数，等等。
当你按照这个推理得出结论时，你会得到Sieve of Eratosthenes。
【讨论】：
3 和 5 的倍数，将在 for 循环的前两次迭代中消除。埃拉托色尼筛法特别适用于生成一系列素数（恕我直言） 你指的不是幂，而是倍数。【参考方案10】：您的算法适用于相当小的数字。对于大数字，应使用高级算法（例如基于椭圆曲线）。另一个想法是使用一些“伪素数”测试。这些将快速测试一个数字是素数，但它们不是 100% 准确的。但是，它们可以帮助您比您的算法更快地排除一些数字。
最后，虽然编译器可能会为你优化这个，你应该写：
int max = (int) (Math.sqrt(n) + 1);
for (int i = 3; i <= max; i = i + 2)
【讨论】：
【参考方案11】：这是最优雅的方式：
public static boolean isPrime(int n)
return !new String(new char[n]).matches(".?|(..+?)\\1+");
Java 1.4+。无需导入。
这么短。太美了。
【讨论】：
这个正则表达式基本上是对一元数字进行试除。在 Perl 中已经多次提到它；您可以在许多网站上看到它的解释，例如***.com/questions/3329766 noulakaz.net/weblog/2007/03/18/… Java 中唯一的区别是 1).matches() 匹配整个字符串，所以你不需要 ^ 和 $，以及 2) 而不是重复 1s（这很难在 Java 中），我创建一个全为空字符的字符串（通过使用新的 char 数组创建一个字符串），然后将它们与 . 匹配
如果“优雅”的意思是“聪明而简洁”，那么当然可以。如果“优雅”意味着“可读”，我会说不是。我当然不想在代码中遇到这种情况。
@anula 比最简单的算法慢几万倍
这没有什么优雅的。
正则表达式本质上相当于除以正整数系列，这是worst case naive 解决数字是否为素数的方法。【参考方案12】：
这是另一种方式：
boolean isPrime(long n)
if(n < 2) return false;
if(n == 2 || n == 3) return true;
if(n%2 == 0 || n%3 == 0) return false;
long sqrtN = (long)Math.sqrt(n)+1;
for(long i = 6L; i <= sqrtN; i += 6)
if(n%(i-1) == 0 || n%(i+1) == 0) return false;
return true;
并且BigInteger's isProbablePrime(...) 对所有 32 位 int 都有效。
编辑
请注意，isProbablePrime(certainty) 并不总是产生正确的答案。当确定性偏低时，它会产生误报，正如 cmets 中提到的@dimo414。
不幸的是，我找不到声称isProbablePrime(certainty) 对所有（32 位）int 都有效的来源（足够确定！）。
所以我进行了几个测试。我创建了一个大小为Integer.MAX_VALUE/2 的BitSet 代表所有奇数，并使用素数筛找到1..Integer.MAX_VALUE 范围内的所有素数。然后我从i=1..Integer.MAX_VALUE 循环来测试每个new BigInteger(String.valueOf(i)).isProbablePrime(certainty) == isPrime(i)。
对于确定性 5 和 10，isProbablePrime(...) 产生了误报。但是使用isProbablePrime(15)，没有测试失败。
这是我的测试台：
import java.math.BigInteger;
import java.util.BitSet;
public class Main
static BitSet primes;
static boolean isPrime(int p)
return p > 0 && (p == 2 || (p%2 != 0 && primes.get(p/2)));
static void generatePrimesUpTo(int n)
primes = new BitSet(n/2);
for(int i = 0; i < primes.size(); i++)
primes.set(i, true);
primes.set(0, false);
int stop = (int)Math.sqrt(n) + 1;
int percentageDone = 0, previousPercentageDone = 0;
System.out.println("generating primes...");
long start = System.currentTimeMillis();
for(int i = 0; i <= stop; i++)
previousPercentageDone = percentageDone;
percentageDone = (int)((i + 1.0) / (stop / 100.0));
if(percentageDone <= 100 && percentageDone != previousPercentageDone)
System.out.println(percentageDone + "%");
if(primes.get(i))
int number = (i * 2) + 1;
for(int p = number * 2; p < n; p += number)
if(p < 0) break; // overflow
if(p%2 == 0) continue;
primes.set(p/2, false);
long elapsed = System.currentTimeMillis() - start;
System.out.println("finished generating primes ~" + (elapsed/1000) + " seconds");
private static void test(final int certainty, final int n)
int percentageDone = 0, previousPercentageDone = 0;
long start = System.currentTimeMillis();
System.out.println("testing isProbablePrime(" + certainty + ") from 1 to " + n);
for(int i = 1; i < n; i++)
previousPercentageDone = percentageDone;
percentageDone = (int)((i + 1.0) / (n / 100.0));
if(percentageDone <= 100 && percentageDone != previousPercentageDone)
System.out.println(percentageDone + "%");
BigInteger bigInt = new BigInteger(String.valueOf(i));
boolean bigIntSays = bigInt.isProbablePrime(certainty);
if(isPrime(i) != bigIntSays)
System.out.println("ERROR: isProbablePrime(" + certainty + ") returns "
+ bigIntSays + " for i=" + i + " while it " + (isPrime(i) ? "is" : "isn't" ) +
" a prime");
return;
long elapsed = System.currentTimeMillis() - start;
System.out.println("finished testing in ~" + ((elapsed/1000)/60) +
" minutes, no false positive or false negative found for isProbablePrime(" + certainty + ")");
public static void main(String[] args)
int certainty = Integer.parseInt(args[0]);
int n = Integer.MAX_VALUE;
generatePrimesUpTo(n);
test(certainty, n);
我是这样跑的：
java -Xmx1024m -cp . Main 15
在我的机器上生成素数大约需要 30 秒。而1..Integer.MAX_VALUE中所有i的实际测试耗时约2小时15分钟。
【讨论】：
isPrime3 预期失败： 但原为：(long)Math.sqrt(n) 应该是 (long)Math.sqrt(n)+1
isPrime3 2213 毫秒 isPrime2 3039 毫秒 isPrime1 6030 毫秒你打败了我
你有关于 BigInteger 的说法的来源或证据吗？你使用什么确定性？我已经看到 isProbablePrime(1) 以数字 9 失败，所以在你的答案中暗示它 /always/ 有效显然是错误的，但是你有什么把握相信 int /is prime/？长呢？
由于这是 java isprime 搜索的第一个结果，我认为在这个答案中突出一个缺陷很重要。对于每一种确定性，人们都可能得到错误的答案。这是因为 isProbablePrime 使用 Random 实例来选择见证人（并且基于数字的长度，甚至覆盖确定性）。示例：ideone.com/t3lo9G【参考方案13】：
根据您需要测试的数字的长度，您可以预先计算小值 (n Sieve of Eratosthenes 是生成此类预先计算列表的首选方法。
如果你的数字大于这个，你可以使用拉宾的素数检验。 Rabin primality test
【讨论】：
【参考方案14】：如果您只是想找出一个数字是否是素数，这已经足够了，但如果您想找出从 0 到 n 的所有素数，更好的选择是Sieve of Eratosthenes
但这将取决于 java 对数组大小等的限制。
【讨论】：
【参考方案15】：您所写的是大多数普通程序员所做的，并且在大多数情况下应该足够了。
但是，如果您追求“最佳科学算法”，则有许多变体（具有不同程度的确定性）记录在 http://en.wikipedia.org/wiki/Prime_number。
例如，如果您有 70 位数字，则 JVM 的物理限制会阻止您的代码运行，在这种情况下您可以使用“Sieves”等。
再次，就像我说的，如果这是一个编程问题或软件中的一般使用问题，你的代码应该是完美的:)
【讨论】：
以上是关于在 Java 中测试素数的最快方法是啥？的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章