射线平面相交怎么做？

Posted 2023-02-27

【中文标题】射线平面相交怎么做？

【英文标题】：How to do ray plane intersection?

【发布时间】：2014-07-21 10:48:58

【问题描述】：

如何计算射线与平面的交点？

代码

这会产生错误的结果。

float denom = normal.dot(ray.direction);

if (denom > 0)

    float t = -((center - ray.origin).dot(normal)) / denom;

    if (t >= 0)
    
        rec.tHit = t;
        rec.anyHit = true;
        computeSurfaceHitFields(ray, rec);
        return true;
    

参数

ray代表射线对象。ray.direction是方向向量。ray.origin是原点向量。rec代表结果对象。rec.tHit是命中的值。rec.anyHit 是一个布尔值。

我的函数可以访问平面：center 和 normal 定义平面

【问题讨论】：

当你说这不起作用时，具体是什么不起作用？是不是崩溃了，结果有错吗？是不是编译失败了？

您的法线向量是否保证指向远离射线原点？否则，denom 很可能仍然会产生交集。

【参考方案1】：

正如 wonce 所说，您还希望分母为负数，否则您将错过与飞机正面的交叉点。但是，您仍然需要进行测试以避免除以零，这将表明光线平行于平面。您在计算t 时也有多余的否定。总的来说，它应该是这样的：

float denom = normal.dot(ray.direction);
if (abs(denom) > 0.0001f) // your favorite epsilon

    float t = (center - ray.origin).dot(normal) / denom;
    if (t >= 0) return true; // you might want to allow an epsilon here too

return false;

【讨论】：

什么是中心，什么是光线原点？

center 这里是平面上的一个已知点。这使用平面的“点法线”描述。

我必须指出你应该使用fabs()而不是abs()，因为abs()将输入参数转换为int。

@Duckdoom5：我显然在谈论 C++，因为这个问题被标记为 C++。我假设您在谈论std::abs()（它有不同的重载）而不是abs()（它只处理整数）。由于答案包含 abs() 而不是 std::abs() 并且也不使用 using 指令，因此我认为这是一个错误。请参阅此处了解更多信息：***.com/questions/21392627/…

@Duckdoom5 我希望你能删除那条评论。这是错误的，你会用错误的信息混淆新手。

【参考方案2】：

首先考虑射线平面相交的数学：

一般来说，光线的参数形式与几何的隐式形式相交。

所以给定一条射线，形式为 x = a * t + a0, y = b * t + b0, z = c * t + c0;

和一个平面的形式：A x * B y * C z + D = 0;

现在将 x、y 和 z 射线方程代入平面方程，您将得到 t 中的多项式。然后，您为 t 的实际值求解该多项式。使用这些 t 值，您可以将其代入射线方程以获得 x、y 和 z 的实际值。 这是在千里马：

请注意，答案看起来像是两个点积的商！ 平面的法线是平面方程 A、B 和 C 的前三个系数。 您仍然需要 D 来唯一确定平面。 然后你用你选择的语言编写代码，如下所示：

Point3D intersectRayPlane(Ray ray, Plane plane)

    Point3D point3D;

    //  Do the dot products and find t > epsilon that provides intersection.


    return (point3D);

【讨论】：

我似乎找不到更多关于射线的隐式公式。 a、t 和 a0 在 x(t) 中代表什么？谢谢！

射线是参数形式，而平面是隐式形式。见cs.umd.edu/~djacobs/CMSC427/RayTracing.pdf

- 旁边的 t = 符号几乎不可见。

【参考方案3】：

vwvan 答案的实现

Vector3 Intersect(Vector3 planeP, Vector3 planeN, Vector3 rayP, Vector3 rayD)

    var d = Vector3.Dot(planeP, -planeN);
    var t = -(d + rayP.z * planeN.z + rayP.y * planeN.y + rayP.x * planeN.x) / (rayD.z * planeN.z + rayD.y * planeN.y + rayD.x * planeN.x);
    return rayP + t * rayD;

【讨论】：

为什么在$t$计算中把两个点积全写出来，而不是调用$Vector3.Dot(rayP, planeN)$？

【参考方案4】：

数学

定义：

让射线参数化地由q = p + t*v 为初始点p 和方向矢量v 为t >= 0。

设平面为点集r，满足等式dot(n, r) + d = 0 法向量n = (a, b, c) 和常数d。完全展开后，平面方程也可以写成我们熟悉的ax + by + cz + d = 0。

当q满足平面方程时，就会发生射线-平面相交。代入，我们有：

d = -dot(n, q)
  = -dot(n, p + t * v)
  = -dot(n, p) + t * dot(n, v)

重新排列：

t = -(dot(n, p) + d) / dot(n, v)

t 的这个值可用于通过将其插入p + t*v 来确定交叉点。

示例实现

std::optional<vec3> intersectRayWithPlane(
    vec3 p, vec3 v,  // ray
    vec3 n, float d  // plane
) 
    float denom = dot(n, v);

    // Prevent divide by zero:
    if (abs(denom) <= 1e-4f)
        return std::nullopt;

    // If you want to ensure the ray reflects off only
    // the "top" half of the plane, use this instead:
    //
    // if (-denom <= 1e-4f)
    //     return std::nullopt;

    float t = -(dot(n, p) + d) / dot(n, v);

    // Use pointy end of the ray.
    // It is technically correct to compare t < 0,
    // but that may be undesirable in a raytracer.
    if (t <= 1e-4)
        return std::nullopt;

    return p + t * v;

【讨论】：

我写这个答案是为了为ax + by + cz + d = 0 表单提供一个完整的工作示例。另外讨论了如果我们只希望从一个正常定向的平面（即平面的前侧......而不是它的后侧）反射光线该怎么做。

另外，参见this answer，了解向量形式的斯涅尔定律的推导，以及参数t 的解。

t = - (dot(n, p) + d) / dot(n, v) 应该是 t = - (dot(n, p0) + d) / dot(n, v)