最小树形图(模板)

Posted 2020-07-14 Ashly

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定义:

　　设G = (V, E)是一个有向图,如果具有下述性质

　　(1)G中不包含有向环;

　　(2)存在一个顶点vi,它不是任何弧的终点,而V的其它顶点都恰好是唯一的一条弧的终点.则称 G是以vi为根的树形图.

　　最小树形图就是有向图G = (V, E)中以vi为根的树形图中权值的和最小的那一个.

用朱刘算法求最小树形图:

　　最小树形图基于贪心和缩点的思想,所谓缩点,就是将几个点看成一个点,所有连到这几个点的边都视为连到收缩点,所有从这几个点连出的边都视为从收缩点连出.这里假设根节点为V₀.

　　(1)求最短弧集合E₀.

　　从所有以V_i(i ≠ 0)为终点的弧中取一条最短的,若对于点i,没有入边,则不存在最小树形图,算法结束;如果能取,则得到由n个点和n-1条边组成的图G的一个子图G\',这个子图的权值一定是最小的,但是不一定是一棵树.

　　(2)检查E₀.

　　若E₀没有有向环且不包含收缩点,则计算结束,E₀就是G以V₀为根的最小树形图,若E₀没有有向环,但是存在收缩点,转到步骤(4),若E₀含有有向环,则转入步骤(3).

　　(3)收缩G中的有向环.

　　把G中的环C收缩成点u,对于图G中两端都属于C的边就会被收缩掉,其他弧仍然保留,得到一个新的图G_1,G1中以收缩点为终点的弧的长度要变化,变化的规则是:设点v在环C中,且环中指向v的边的权值为w,点v\'不在环C中,则对于G中的每一条边<v\', v>,在G₁中有边<v\', u>和其对应,且权值W_G1(<v\', u>) = W_G(<v\', v>) - w;对于图G中以环C中的点为起点的边<v\', v>,在图G₁中有边<u, v\'>,则W_G1(<u, v\'>) = W_G(<v\', v>).有一点需要注意,在这里生成的图

G₁可能存在重边.

　　对于图G和G₁:

　　<1>:如果图G₁中没有以v0为根的最小树形图,则图G也没有.

　　<2>:如果G₁中有一v0为根的最小树形图,则可按照步骤(4)的展开方法得到图G的最小树形图.

　　所以,应该对于图G₁代到(1)中反复求其最小树形图,直到G₁的最小树形图u求出.

　　(4)展开收缩点.

　　假设图G₁的最小树形图为T₁,那么所有T₁中的弧都属于图G的最小树形图T.将G₁的一个收缩点u展开成环C,从C中去掉与T₁具有相同终点的弧,其他弧都属于T.

　　总结一下,为了求一个图的最小树形图,先求出最短弧集合E₀.如果E₀不存在,则图的最小树形图也不存在.如果E₀存在且不具有环,则E₀就是最小树形图.如果E₀存在但是存在有向环,则把这个环收缩成一个点u,形成新的图G₁,然后对于G₁继续求其的最小树形图,直到求到图G_i.如果G_i不具有最小树形图,那么此图不存在最小树形图,如果G_i存在最小树形图,那么逐层展开,就得到了原图的最小树形图.

下面有张图:

　　第一幅图为原始图G,首先对于图G求其最短弧集合E₀,即第二幅图G₁.然后检查E₀是满足条件,在这里,可以看到G₁具有两个环,那么把这两个环收缩,如第三幅图所示,U1,U2分别为收缩后的点,然后对应的权值进行更新,起点是环中的点,终点是环外的点,则权值不变,反之,起点是环外的点,终点是环内的点,则权值应该减去E₀中指向环内点的权值,形成新的图,如第三幅图.对于其反复求最小树形图,直到不存在最小树形图,或者求得缩点后的图的最小树形图,然后展开就好了,如第六幅图.

　　如果只要求计算权值的话,则不需要展开,所有环中权值的和加上其他各个点与点之间,或者收缩点和点之间的权值就是总的权值.

代码:

 1 #include <iostream>
 2 #include <cmath>
 3 #include <cstdio>
 4 #include <cstring>
 5 #include <cstdlib>
 6 #include <algorithm>
 7 #include <string>
 8 typedef long long LL;
 9 using namespace std;
10 const int MAXV = 100;
11 const int MAXE = 10000;
12 const int INF = 0x3f3f3f3f;
13 
14 //求具有V个点,以root为根节点的图map的最小树形图
15 int zhuliu(int root, int V, int map[MAXV + 7][MAXV + 7]){
16     bool visited[MAXV + 7];
17     bool flag[MAXV + 7];//缩点标记为true,否则仍然存在
18     int pre[MAXV + 7];//点i的父节点为pre[i]
19     int sum = 0;//最小树形图的权值
20     int i, j, k;
21     for(i = 0; i <= V; i++) flag[i] = false, map[i][i] = INF;
22     pre[root] = root;
23     while(true){
24         for(i = 1; i <= V; i++){//求最短弧集合E0
25             if(flag[i] || i == root) continue;
26             pre[i] = i;
27             for(j = 1; j <= V; j++)
28                 if(!flag[j] && map[j][i] < map[pre[i]][i])
29                     pre[i] = j;
30             if(pre[i] == i) return -1;
31         }
32         for(i = 1; i <= V; i++){//检查E0
33             if(flag[i] || i == root) continue;
34             for(j = 1; j <= V; j++) visited[j] = false;
35             visited[root] = true;
36             j = i;//从当前点开始找环
37             do{
38                 visited[j] = true;
39                 j = pre[j];
40             }while(!visited[j]);
41             if(j == root)continue;//没找到环
42             i = j;//收缩G中的有向环
43             do{//将整个环的取值保存,累计计入原图的最小树形图
44                 sum += map[pre[j]][j];
45                 j = pre[j];
46             }while(j != i);
47             j = i;
48             do{//对于环上的点有关的边,修改其权值
49                 for(k = 1; k <= V; k++)
50                     if(!flag[k] && map[k][j] < INF && k != pre[j])
51                         map[k][j] -= map[pre[j]][j];
52                 j = pre[j];
53             }while(j != i);
54             for(j = 1; j <= V; j++){//缩点,将整个环缩成i号点,所有与环上的点有关的边转移到点i
55                 if(j == i) continue;
56                 for(k = pre[i]; k != i; k = pre[k]){
57                     if(map[k][j] < map[i][j]) map[i][j] = map[k][j];
58                     if(map[j][k] < map[j][i]) map[j][i] = map[j][k];
59                 }
60             }
61             for(j = pre[i]; j != i; j = pre[j]) flag[j] = true;//标记环上其他点为被缩掉
62             break;//当前环缩点结束,形成新的图G\',跳出继续求G\'的最小树形图
63         }
64         if(i > V){//如果所有的点都被检查且没有环存在,现在的最短弧集合E0就是最小树形图.累计计入sum,算法结束
65             for(i = 1; i <= V; i++)
66                 if(!flag[i] && i != root) sum += map[pre[i]][i];
67             break;
68         }
69     }
70     return sum;
71 }