BZOJ_3282_Tree_(LCT)

Posted 2020-07-14 晴歌。

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了BZOJ_3282_Tree_(LCT)相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

描述

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3282

给出n个点以及权值,四种操作:

0.求x,y路径上的点权值的异或和.

1.连接x,y.

2.断开x,y.

3.将x的权值改为t.

分析

LCT模板题.

说几点自己的感悟和需要注意的地方吧(这里把原来的树称作树,平衡树称作Splay以避免混淆):

1.LCT是用Splay来维护一个森林(通过将链剖分),Splay以深度为关键字,即深度小的在左边,深度大的在右边.森林中每一棵树都有一个或多个Splay,刚开始的时候每个点都是一个独立的Splay.如果两个点x,y相连,假设x的深度小,则我们把y->pa设为x,但是注意并不把x的孩子设为y.这样一棵树中,还是每个点都是一个单独的Splay,不过与普通的Splay不同的是,这里的Splay的根并不一定上面连着null,而是它的父亲节点不连着它.

2.Access操作是LCT的最基本也是最重要的操作,它的作用是:如果我们Access(x),那么就会将x所在树的根节点到x的路径上的所有点放进一个Splay中.这样进行多次Access的话,一棵树就被分成了许多个Splay且每个Splay可能不再只代表一个点(可以自己画图看看).对于Splay的根节点,它的pa代表的是这个Splay(是一条链)的树上的祖先,而对于非Splay节点,它的父亲就是它在Splay中的父亲.这样我们就有了一个判断Splay根节点的方法:看它的pa是否连着它,如果连着,则这个点不是Splay的根,如果不连着,那么这个点就是Splay的根.当然,树的根节点就是父亲为null的点了.

另外注意Access(x)之后一定要Splay(x),(原来的x).原因如下(看不懂的先跳过去看下面的):

(1).在Access操作的时候,每次在树中深度小的Splay链上挂上深度大的点,都是挂在右孩子,但是都没有进行push_up()操作,所以之后进行一次Splay(x),x沿着右边转上去的过程中就把所有没有push_up的点都push_up了.(当然也可以在Access函数中每一步都push_up(),但好像会慢一点)

(2).保证在make_root(x)之后x同时也是Splay的根,这样在link函数里面make_root(x)之后才能直接x->pa=y.

(3).Access(x)之后无论进行什么有关x所在Splay的操作都要先对Splay中的某个点进行splay操作,x点在Splay的根节点的话,因为有fix函数,所以x位置的标记一定会传下去.如果我们make_root(x)过了的话,这样保证了x是最左边的也就是深度最小的,这样find_root函数才能找到正确树的根.

3.make_root操作.make_root(x)之后,x就是树的根了(有向树无此操作).我们思考会发现,对于树原来的根y和现在要成为根的x,我们只需要将y到x路径上的所有点的深度倒过来就可以了.所以我们Access(x),splay(x),x->rev^=true(将代表y到x这条链的Splay中的所有点深度倒转)即可.

4.link操作.make_root(x),然后直接连就行了(make_root的时候在Access之后进行了splay,所以x一定是Splay的根,所以可以直接连).

5.cut操作.make_root(x),Access(y),Splay(y)这样这个Splay中就只有x,y两个点,且x是y的左儿子,然后x->pa=null,y->ch[0]=null即可.

6.fix函数的重要性.一般的Splay在进行splay操作的时候可以边转边向下传标记(rev).但是LCT中的Splay是时时刻刻在变的,可能一会之后Splay中就不再是原来那些点了(多了一些新的,少了一些以前的).如果我们边转边传标记的话,会导致Splay中上面的标记没有完全传下来,一会如果下面的点换了(原来的点没了,新增了别的点),这个标记就出问题了.所以我们Splay操作的时候要先找到Splay的根,然后从上到下(直到要进行splay操作的点x),把标记全部放下来,这样保证了所有会影响x的子节点的标记都放干净了.因为每次Splay换点的时候都是先splay(x),再把x->ch[1]换掉,所以我们每次splay(x)的时候把会影响x子节点的标记都处理好,再换x的子节点,就不会有问题了.

7.因为Access之后一定要进行splay操作,所以我以后直接把splay写在Access函数里面了.

8.其实我觉得我讲的一点也不清楚...

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 
 4 const int maxn=300000+5;
 5 int n,m;
 6 struct node{
 7     int v,s; bool rev;
 8     node* ch[2],* pa;
 9     node(int v,node* t):v(v),s(0),rev(false){ ch[0]=ch[1]=pa=t; }
10     bool d(){ return pa->ch[1]==this; }
11     bool c(){ return pa->ch[0]==this||pa->ch[1]==this; }//判断这个点有没有被父亲连着.
12     void setc(node* t,bool d){ ch[d]=t; t->pa=this; }
13     void push_up(){ s=ch[0]->s^ch[1]->s^v; }
14     void push_down(){
15         if(rev){
16             ch[0]->rev^=true;
17             ch[1]->rev^=true;
18             swap(ch[0],ch[1]);
19             rev=false;
20         }
21     }
22 }* t[maxn],* null;
23 void rot(node* o){
24     node* pa=o->pa; bool d=o->d();
25     pa->push_down(); o->push_down();
26     if(pa->c()) pa->pa->setc(o,pa->d());
27     else o->pa=pa->pa;
28     pa->setc(o->ch[!d],d);
29     o->setc(pa,!d);
30     pa->push_up();
31 }
32 void fix(node* o){
33     if(o->c()) fix(o->pa);
34     o->push_down();
35 }
36 void splay(node* o){
37     fix(o);//必须要找到根再放标记,否则标记下放不完全,splay又是动态的,会出错.
38     while(o->c())
39         if(!o->pa->c()) rot(o);
40         else o->d()==o->pa->d()?(rot(o->pa),rot(o)):(rot(o),rot(o));
41     o->push_up();
42 }
43 void access(node* x){//access之后一定要splay原来的x
44     node *y=null;
45     for(;x!=null;y=x, x=x->pa){
46         splay(x);
47         x->ch[1]=y;
48     }
49 }
50 void make_root(node* o){
51     access(o);
52     splay(o);
53     o->rev^=true;
54 }
55 void link(node *u,node *v){
56     make_root(u);
57     u->pa=v;
58 }
59 void cut(node* u,node *v){
60     make_root(u);
61     access(v);
62     splay(v);
63     u->pa=null;
64     v->ch[0]=null;
65 }
66 node* find_root(node* o){
67     access(o);
68     splay(o);
69     while(o->ch[0]!=null) o=o->ch[0];
70     return o;
71 }
72 int query(node *u,node *v){
73     make_root(u);
74     access(v);
75     splay(v);
76     return v->s;
77 }
78 void change(node *x,int y){
79     splay(x);
80     x->v=y;
81     x->push_up();
82 }
83 int main(){
84     null=new node(0,NULL);
85     scanf("%d%d",&n,&m);
86     for(int i=1;i<=n;i++){
87         int x; scanf("%d",&x);
88         t[i]=new node(x,null);
89     }
90     for(int i=1;i<=m;i++){
91         int c,x,y;
92         scanf("%d%d%d",&c,&x,&y);
93         if(c==0) printf("%d\\n",query(t[x],t[y]));
94         else if(c==1){ if(find_root(t[x])!=find_root(t[y])) link(t[x],t[y]); }
95         else if(c==2){ if(find_root(t[x])==find_root(t[y])) cut(t[x],t[y]); }
96         else if(c==3) change(t[x],y);
97     }
98     return 0;
99 }