统计学如何用少量数据概括数据（相关概念)

Posted 2020-06-10

用少量数据来概括大量数字是日常生活中常见的。那么可以用少量所谓汇总统计量或概括统计量(summary statistic)来描述定量变量的数据。任何样本的函数，只要不包含总体的未知参数，都称为统计量(statistic)，那么样本的随机性决定了统计量的随机性。

 

数据的"位置"

比如说哪个地方穷，那个地方富，哪个国家人高，哪个国家人矮，这样不是说一个地方的所有人都比另一个地方的所有人富有或高，仅仅忽略了"平均起来"这样的字眼。实际上，这种说法是关于数据中某变量观测值的"中心位置"，或者数据分布的中心(center或center tendency)的某种表述。这种与"位置"的有关统计量就称为位置统计量(location statistic)。

最常用的位置统计量就是小学学到的平均值，在统计学中叫做"均值"，严格地说叫做样本平均值(sample mean)。

 

数据的"尺度"

是否"均"是由尺度统计量(scale statistic)来描述的。尺度统计量是描述数据散布，即描述集中于分散程度或变化的度量。一般来说，数据越分散，尺度统计量的值越大。

最简单的尺度统计量就是极差(range)。极差就是极大值和极小值之间的差。

另一个常用的尺度统计量为（样本）标准差(standard deviation)。它度量样本中各个数值到均值的距离的一种平均。简单来说，标准差是一组数值自平均值分散开来的程度的一种测量观念。一个较大的标准差，代表大部分的数值和其平均值之间差异较大；一个较小的标准差，代表这些数值较接近平均值。标准差实际上是方差的平方根。样本方差是由各观测值到均值距离的平方和除以减去1的样本量。比如:如果样本中的观测值为X1,X2,X3,X4....Xn，则样本方差为:

那么标准差就为样本方差的平方根:

显然如果标准差越大，数据中的观测值就越分散，小的标准值就意味着数据很集中。

 

数据的标准得分

比如，数据给出两个版的同一们课的成绩，假定两个班水平类似，但是由于两个任课老师的评分标准不同，使得两个班成绩的均值和标准差都不一样。例如，1班的均值和标准差分别为78.53和9.43，而2班的均值和标准差分别为70.19和7.00。那么得到90分的一班的yangsy是不是就比2班的xiaojingjing成绩更好呢？怎样比较菜合理呢?

虽然这种均值和标准差的值不能够直接比较，但是可以把它们标准化，然后再比较标准化的数据。一个标准化的方法是把某样本原始观测值（得分)和该样本均值之差除以该样本的标准差，得到的度量成为标准得分(standard score)即，某观测值Xi的标准得分Zi定义为:  z=（x- EX）/σ     

转换成相应的标准得分，就可以进行比较了。那么在上述例子中yangsy的得分(90-78.53)/9.43 = 1.22 ，而xiaojingjing的标准得分为(82 - 70.19)/7 = 1.69。所以xiaojingjing的分数应该优于yangsy。

当然，在应用一些统计方法时，有时的确需要对数据做标准化或其他变换，但这些都不是随意的，都有某些确定的理论基础和实践目的。

　　

众数、中位数、平均值的联系与区别:

1、平均值是通过计算得到的，因此它会因每一个数据的变化而变化。

2、中位数是通过排序得到的，它不受最大、最小两个极端数值的影响．中位数在一定程度上综合了平均数和中位数的优点，具有比较好的代表性。部分数据的变动对中位数没有影响，当一组数据中的个别数据变动较大时，常用它来描述这组数据的集中趋势。另外，因中位数在一组数据的数值排序中处中间的位置，

3、众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度．日常生活中诸如“最佳”、“最受欢迎”、“最满意”等，都与众数有关系，它反映了一种最普遍的倾向．

 

平均数、中位数和众数它们都有各自的的优缺点．

平均数：(1)需要全组所有数据来计算；

            (2)易受数据中极端数值的影响．

中位数：(1)仅需把数据按顺序排列后即可确定；

            (2)不易受数据中极端数值的影响．

  众数：(1)通过计数得到；

　        (2)不易受数据中极端数值的影响