2016湖大校赛 L题 The Sequence likes Ladder

Posted 2020-07-13

题意：S1=a,Sn=a*(Sn-1)^k%m,且有（a,m）=1，给出i,求Si。

思路：首先我们可以写出Sn的通项a^(1+k+k^2+...k^n-1);其次注意到m的范围是10000以内，所以我们可以利用欧拉公式降幂。

注意到（a,m）=1;又欧拉定理可知a^x%m=a^(x%phi(m))*a^phi(m)%m,而a^phi(m)=1;所以

a^x%m=a^(x%phi(m))%m;

而幂是一个等比数列，可以利用快速矩阵幂计算，算出幂之后，再利用快速幂求出答案。

 

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=10010;
int euler[maxn];
ll a,k,m,n;

int phi()
{
    for(int i=0;i<maxn;i++) euler[i]=i;
    for(int i=2;i<maxn;i++)
    {
        if(euler[i]==i)
        {
            for(int j=i;j<maxn;j+=i)
            {
                euler[j]=euler[j]/i*(i-1);
            }
        }
    }
}

struct Matrix
{
    ll a[2][2];
    Matrix(){memset(a,0,sizeof(a));}
    Matrix operator* (const Matrix &p)
    {
        Matrix res;
        for(int i=0;i<2;i++)
        {
            for(int j=0;j<2;j++)
            {
                for(int k=0;k<2;k++)
                {
                    res.a[i][j]+=(a[i][k]*p.a[k][j]%euler[m]);
                }
                res.a[i][j]%=euler[m];
            }
        }
        return res;
    }
}ans,base;

Matrix quick_pow(Matrix base,ll n)
{
    Matrix res;
    for(int i=0;i<2;i++)
    {
        res.a[i][i]=1;
    }
    while(n)
    {
        if(n&1) res=res*base;
        base=base*base;
        n>>=1;
    }
    return res;
}

ll pow(ll a,ll n)
{
    ll ans=1;
    while(n)
    {
        if(n&1) ans=ans*a%m;
        a=a*a%m;
        n>>=1;
    }
    return ans;
}

void Matrix_init()
{
    ans.a[0][0]=1;
    ans.a[0][1]=1;
    ans.a[1][0]=0;
    ans.a[1][1]=0;
    base.a[0][0]=k;
    base.a[0][1]=0;
    base.a[1][0]=1;
    base.a[1][1]=1;
}

int main()
{
    ll x;
    phi();
    while(~scanf("%lld%lld%lld%lld",&a,&k,&m,&n))
    {
        Matrix_init();
        ans=ans*quick_pow(base,n-1);
        x=ans.a[0][0];
        x=pow(a%m,x)%m;
        printf("%lld\\n",x);
    }
    return 0;
}