最大团

Posted 2020-07-13 sweatOtt

转载自: http://www.cnblogs.com/zhj5chengfeng/archive/2013/07/29/3224092.html

 

一、定义

 

一个无向图 G=(V，E)，V 是点集，E 是边集。取 V 的一个子集 U，若对于 U 中任意两个点 u 和 v，有边 (u,v)∈E，那么称 U 是 G 的一个完全子图。 U 是一个团当且仅当 U 不被包含在一个更大的完全子图中。

G的最大团指的是定点数最多的一个团。

 

当然，这种算法很不高效，所以当图中有 100 个点以上时，请慎用

先看看一个显而易见的 DFS ：

　　　　初始化：

　　　　　　从一个点 u 开始，把这个点加入到一个集合中，设为 U。遍历一遍所有和他相连的点，把他们放入另一个集合 S1 中，接下来进行第一遍 DFS

　　　　第一遍 DFS ：

　　　　　　从 S1 中选择一个点 u1，这个点肯定和集合 U 中的任何一个点相连（因为加入集合的时候这些点和u是相连的）。把集合 S1 中 u1 能访问到的点加入到集合 S2 中，并把 u1 加入到集合 U 中，进行第二遍 DFS

　　　　第二遍 DFS ：

　　　　　　从 S2 中选择一个点 u2，这个点肯定和集合 U 中的任何一个点相连。把集合 S2 中 u2 能访问到的点加入到集合 S3 中，并把 u2 加入到集合 U 中，进行第三遍 DFS

　　　　第三遍 DFS ：

　　　　　　从 S3 中选择一个点 u3，这个点肯定和集合 U 中的任何一个点相连。把集合 S3 中 u3 能访问到的点加入到集合 S4 中，并把 u3 加入到集合 U 中，进行第四遍 DFS

　　　　......

　　　　最底层的 DFS ：

　　　　　　当某个 S 集合为空集的时候，DFS 结束，这时候我们就找到了一个完全子图，用这个完全子图更新我们的最大团。退出当前的 DFS，返回上层 DFS，接着找下一个完全子图，直到找完所有的完全子图

 

按照上面介绍的 DFS 方法，肯定能够得到一个最大团，因为该 DFS 把所有的完全子图都枚举了一遍。但是这样做的时间复杂度是不是太高了？

于是产生了下面的 DFS 过程，大致上和上面的 DFS 一样，只不过有一些地方不太一样了

 

首先，我们先得到后几个点组成的最大团到底是多大，（最开始的时候肯定是最后一个点单独构成一个最大团，点数为1）然后我们再 DFS：

　　　　初始化：

　　　　　　从一个点 u 开始，把这个点加入集合 U 中。将编号比它大的且和它相连的点加入集合 S1 中，为了方便，将集合 S1 中的点有序，让他们从小到大排列，进行第一遍 DFS

　　　　第一遍 DFS ：

　　　　　　从 S1 中选择一个点 u1，遍历 S1 中，所有编号比 u1 大且和 u1 相连的点，其实也就是排在 u1 后面，并且和 u1 相连的点，将它们加入集合 S2 中。同理，让 S2 中的点也按照编号也从小到大排列。将 u1 加入集合 U 中，进行第二遍 DFS

　　　　第二遍 DFS ：

　　　　　　从 S2 中选择一个点 u2，遍历 S2 中，所有排在 u2 后面且和 u2 相连的点，并把它们加入集合 S3 中，让 S3 中的点按照编号从小到大排列，将 u2 加入集合 U 中进行第三遍 DFS

　　　　第三遍 DFS ：

　　　　　　从 S3 中选择一个点 u3，遍历 S3 中，所有排在 u3 后面且和 u3 相连的点，并把它们加入集合 S4 中，让 S4 中的点按照编号从小到大排列，将 u3 加入集合 U 中进行第四遍 DFS

　　　　......

　　　　最底层的 DFS ：

　　　　　　当某个 S 集合为空时，DFS 过程结束，得到一个只用后面几个点构成的完全子图，并用它去更新只用后面几个点构成的最大团。退出当前 DFS，返回上层 DFS，接着找下一个完全子图，直到找完所有的完全子图

 

上面的 DFS 过程，如果不加任何剪枝的话，其实和第一个 DFS 是差不多的，但是既然我们都这样 DFS 了，能不能想一想怎么剪枝呢？

假设我们当前处于第 i 层 DFS，现在需要从 Si 中选择一个 ui，把在 Si 集合中排在 ui 后面的和 ui 相连的点加入集合 S(i+1) 中，把 ui 加到集合 U 中

可能大家稍作思考之后就想到了一个剪枝：

 

剪枝1：如果 U 集合中的点的数量+1（选择 ui 加入 U 集合中）+Si 中所有 ui 后面的点的数量 ≤ 当前最优值，不用再 DFS 了

 

还有什么剪枝呢？

注意到我们是从后往前选择 u 的，也就是说，我们在 DFS 初始化的时候，假设选择的是编号为 x 的点，那么我们肯定已经知道了用 [x+1, n] ，[x+2, n]，[x+3, n] ...[n,n] 这些区间中的点能构成的最大团的数量是多大

 

剪枝2：如果 U 集合中的点的数量+1（理由同上）+[ui, n]这个区间中能构成的最大团的顶点数量 ≤ 当前最优值，不用再 DFS了

 

有这两个剪枝就够了吗？

不，我们还能想出一个剪枝来：

 

剪枝3：如果 DFS 到最底层，我们能够更新答案，不用再 DFS 了，结束整个 DFS 过程，也不再返回上一层继续 DFS 了

 

为什么？因为我们如果再继续往后 DFS 的话，点的编号变大了，可用的点变少了（可用的点在一开始 DFS 初始化的时候就确定了，随着不断的加深 DFS 的层数，可用的点在不断的减少）

 

有了上面三个剪枝，100 个点以内的图，我们也能非常快的出解了

 

可能有人会问，如果想知道最大团包含哪些节点该怎么办？

这还不简单？每次 DFS 都会加一个点进入 U 集合中，DFS 到最底层，更新最大团数量的时候，U 集合中的点一定是一个完全子图中的点集，用 U 集合更新最大团的点集就行了

 

三、常用结论

 

1、最大团点的数量=补图中最大独立集点的数量

2、二分图中，最大独立集点的数量+最小覆盖点的数量=整个图点的数量

3、二分图中，最小覆盖点的数量=最大匹配的数量

4、图的染色问题中，最少需要的颜色的数量=最大团点的数量