范畴论-一个单子（Monad）说白了不过就是自函子范畴上的一个幺半群而已

Posted 2020-11-14 zzfx

范畴即为结构：包含要素和转化。

 

范畴为高阶类型。

函子为高阶函数。函子的输入为态射。函子为建立在态射基础上的高阶函数。函子用于保持范畴间映射的结构。态射用于范畴内部的转换。

群为运算规则的约束。

自函子是一类比较特殊的函子，它是一种将范畴映射到自身的函子 (A functor that maps a category to itself)。

 

范畴论是抽象地处理数学结构以及结构之间联系的一门数学理论，以抽象的方法来处理数学概念，将这些概念形式化成一组组的“物件”及“态射”。

 

不是只专注在有特定结构的个别物件（如群）上，范畴论会着重在这些物件的态射（结构保持映射）上。

研究范畴就是试图以“公理化”的方法抓住在各种相关连的“数学结构”中的共同特性，并以结构间的“结构保持函数”将这些结构相关起来。

 

函子

再抽象化一次，范畴自身亦为数学结构的一种，因此可以寻找在某一意义下会保持其结构的“过程”；此一过程即称之为函子。函子将一个范畴的每个物件和另一个范畴的物件相关连起来，并将第一个范畴的每个态射和第二个范畴的态射相关连起来。

实际上，即是定义了一个“范畴和函子”的范畴，其元件为范畴，（范畴间的）态射为函子。

经由研究范畴和函子，不只是学习了一类数学结构，及在其之间的态射；还学习了“在不同类型的数学结构之间的关系”。此一基本概念首次出现于代数拓扑之中。不同的“拓扑”问题可以转换至通常较易解答的“代数”问题之上。在拓扑空间上如基本群或基本群胚等基本的架构，可以表示成由群胚所组成的范畴之间的基本函子，而这个概念在代数及其应用之中是很普遍的。 [1]