3771: Triple

Posted 2020-11-12 HWIM

3771: Triple

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题意

　　n个斧头，每个斧头的价值都不同(开始时没注意到)，可以取1个，2个，3个斧头组成不同的价值，求每种价值有多少种组成方案（顺序不同算一种）

 

分析：

　　生成函数 + 容斥原理 + FFT。

　　首先对于只取一个的话，那么生成函数就是$A = (x^0 + x^{w_1} + x^{w_2} + x^{w_3}+...+x^{w_n})$（指数为价值，系数为方案数）

　　那么朴素的求解就是$ans = A+A^2+A^3$

　　但是顺序不同算一种，所以每一项都除以n!，$ans = \frac{A}{1!}+\frac{A^2}{2!}+\frac{A^3}{3!}$。例如题面中的(a,b)和(b,a)是一样的。

　　但是这还有一个问题，每把斧头只能拿一次。所以需要减去拿了多次的情况。构造两个分别为一个斧头拿两次，一个斧头拿三次的生成函数，$B = (x^0 + x^{2w_1} + x^{2w_2}+x^{2w_3}+...+x^{2w_n})$ ，$C = (x^0 + x^{3w_1} + x^{3w_2}+x^{3w_3}+...+x^{3w_n})$。

　　考虑拿两把斧头的方案，减去一把斧头拿了两次的情况，即$\frac{A^2-B}{2}$。

　　再考虑拿三把斧头的方案，首先减去一个斧头至少拿两次的方案$A∗B$，一个斧头拿两次的方案是会在被统计到三次，形如$(y,x,x),(x,y,x),(x,x,y)$，所以应该减去三次。一个斧头拿了两次的方案 包含了 拿了三次的方案，对于拿三次的方案，只会统计到一次，形如$(x,x,x)$，只减去一次就好了，所以在原式中再加回来两次，即$\frac{A^3-3*A*B+2*C}{3!}$。

　　所以最后$ans=A+\frac{A^2-B}{2}+\frac{A^3-3*A*B+2*C}{6}$。

 

　　参考博客https://www.zgz233.xyz/2017/08/06/bzoj-3771-triple/

 

代码：

　

 1 #include<cstdio>
 2 #include<algorithm>
 3 #include<cstring>
 4 #include<iostream>
 5 #include<cmath> 
 6 #include<cctype>
 7 
 8 using namespace std;
 9 
10 const int N = 150000;
11 const double Pi = acos(-1.0);
12 
13 struct Complex {
14     double x, y;
15     Complex() {}
16     Complex(double _x,double _y) {x = _x, y = _y;}
17 }A[N],B[N],C[N],ans[N];
18 
19 Complex operator + (Complex a, Complex b) {
20     return Complex(a.x + b.x, a.y + b.y);
21 }
22 Complex operator - (Complex a, Complex b) {
23     return Complex(a.x - b.x, a.y - b.y);
24 }
25 Complex operator * (Complex a, Complex b) {
26     return Complex(a.x * b.x - a.y * b.y, a.x * b.y + a.y * b.x);
27 }
28 
29 void FFT(Complex *a,int n,int ty) {
30     for (int i=0,j=0; i<n; ++i) {
31         if (i < j) swap(a[i],a[j]);
32         for (int k=n>>1; (j^=k)<k; k>>=1);
33     }
34     for (int m=2; m<=n; m<<=1) {  
35         Complex w1 = Complex(cos(2*Pi/m),ty*sin(2*Pi/m));
36         for (int i=0; i<n; i+=m) { 
37             Complex w = Complex(1,0); 
38             for (int k=0; k<(m>>1); ++k) {
39                 Complex t = w * a[i+k+(m>>1)];
40                 Complex u = a[i+k];
41                 a[i+k] = u + t;
42                 a[i+k+(m>>1)] = u - t;
43                 w = w * w1;
44             }
45         }
46     }
47 }
48 
49 int main() {
50     int m,mx = 0,n = 1;
51     scanf("%d",&m);
52     for (int x,i=1; i<=m; ++i) {
53         scanf("%d",&x);
54         A[x] = Complex(1,0);
55         B[x * 2] = Complex(1,0);
56         C[x * 3] = Complex(1,0); 
57         if (x * 3 > mx) mx = x * 3;
58     }
59     while (n < mx) n <<= 1;
60     
61     FFT(A,n,1);
62     FFT(B,n,1);
63     FFT(C,n,1);
64     
65     Complex c2 = Complex(2,0),c3 = Complex(3,0),c6 = Complex(6,0);
66     Complex t1 = Complex(1.0/2.0,0),t2 = Complex(1.0/6.0,0);
67     
68     for (int i=0; i<n; ++i) 
69         ans[i] = A[i] + 
70                 (A[i] * A[i] - B[i]) * t1 +
71                 (A[i] * A[i] * A[i] - (A[i] * B[i]) * c3 + C[i] * c2) * t2;
72     
73     FFT(ans,n,-1);
74     
75     for (int i=0; i<n; ++i) {
76         int Ans = (int)(ans[i].x / n + 0.5);
77         if (Ans) printf("%d %d\n",i,Ans);
78     }
79     
80     return 0;
81 }