专题训练之数位DP

Posted 2020-11-11 jackyan

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了专题训练之数位DP相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

推荐以下一篇博客：https://blog.csdn.net/wust_zzwh/article/details/52100392

1.(HDOJ2089)http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2089

分析：裸模板题

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<algorithm>
 4 using namespace std;
 5 typedef long long ll;
 6 int a[20];
 7 int dp[20][2];
 8 int dfs(int pos,int pre,int sta,bool limit)
 9 {
10     if ( pos==-1 ) return 1;
11     if ( !limit && dp[pos][sta]!=-1 ) return dp[pos][sta];
12     int up=limit?a[pos]:9;
13     int tmp=0;
14     for ( int i=0;i<=up;i++ )
15     {
16         if ( pre==6 && i==2 ) continue;
17         if ( i==4 ) continue;
18         tmp+=dfs(pos-1,i,i==6,limit&&i==a[pos]);
19     }    
20     if ( !limit ) dp[pos][sta]=tmp;
21     return tmp;
22 }
23 
24 int solve(int x)
25 {
26     int pos=0;
27     while ( x )
28     {
29         a[pos++]=x%10;
30         x/=10;
31     }
32     return dfs(pos-1,-1,0,true);
33 }
34 
35 int main()
36 {
37     int l,r;
38     while ( scanf("%d%d",&l,&r)!=EOF && (l+r) )
39     {
40         memset(dp,-1,sizeof(dp));
41         printf("%d\n",solve(r)-solve(l-1));
42     }
43     return 0;
44 }

HDOJ2089

2.(HDOJ3555)http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3555

题意：求区间内不出现49的数的个数

分析：裸模板题

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<algorithm>
 4 using namespace std;
 5 typedef long long ll;
 6 int a[20];
 7 ll dp[20][2];
 8 ll dfs(int pos,int pre,int sta,bool limit)
 9 {
10     if ( pos==-1 ) return 1;
11     if ( !limit && dp[pos][sta]!=-1 ) return dp[pos][sta];
12     int up=limit?a[pos]:9;
13     ll tmp=0;
14     for ( int i=0;i<=up;i++ )
15     {
16         if ( pre==4 && i==9 ) continue;
17         tmp+=dfs(pos-1,i,i==4,limit&&i==a[pos]);
18     }    
19     if ( !limit ) dp[pos][sta]=tmp;
20     return tmp;
21 }
22 
23 ll solve(ll x)
24 {
25     int pos=0;
26     while ( x )
27     {
28         a[pos++]=x%10;
29         x/=10;
30     }
31     return dfs(pos-1,-1,0,true);
32 }
33 
34 int main()
35 {
36     ll l,r,T;
37     memset(dp,-1,sizeof(dp));
38     scanf("%lld",&T);
39     while ( T-- )
40     {
41         scanf("%lld",&r);
42         printf("%lld\n",r-solve(r)+1);
43     }
44     return 0;
45 }

HDOJ3555

3.(HDOJ4734)http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4734

题意：题目给了个f(x)的定义：F(x) = A_n * 2^n-1 + A_n-1 * 2^n-2 + ... + A₂ * 2 + A₁ * 1，Ai是十进制数位，然后给出a,b求区间[0,b]内满足f(i)<=f(a)的i的个数。

分析：采用相减的思想,dp[i][j]，第一维表示处于数字的第几位（即pos），第二维表示是枚举到当前pos位，后面位数最多能凑的权值和为j（起始值为f(a)），最后当j>=0是满足条件的数。具体解释见上面的博客

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<algorithm>
 4 using namespace std;
 5 typedef long long ll;
 6 const int maxn=10010;
 7 int a[12];
 8 int dp[12][maxn];
 9 int sum;
10 int pow_[maxn];
11 
12 int dfs(int pos,int sta,bool limit)
13 {
14     if ( pos==-1 ) return 1;
15     if ( !limit && dp[pos][sta]!=-1 ) return dp[pos][sta];
16     int up=limit?a[pos]:9;
17     int tmp=0;
18     for ( int i=0;i<=up;i++ )
19     {
20         int x=pow_[pos]*i;
21         if ( sta-x<0 ) continue;
22         tmp+=dfs(pos-1,sta-x,limit&&i==a[pos]);
23     }
24     if ( !limit ) dp[pos][sta]=tmp;
25     return tmp;
26 }
27 
28 int solve(int x)
29 {
30     int pos=0;
31     while ( x )
32     {
33         a[pos++]=x%10;
34         x/=10;    
35     }
36     return dfs(pos-1,sum,true);
37 }
38 
39 int main()
40 {
41     int l,r,T,i,j,k,h,A,B,x,y,z,cnt;
42     pow_[0]=1;
43     for ( i=1;i<=8;i++ ) pow_[i]=pow_[i-1]*2;
44     scanf("%d",&T);
45     memset(dp,-1,sizeof(dp));
46     for ( h=1;h<=T;h++ )
47     {
48         scanf("%d%d",&A,&B);
49         sum=0;
50         cnt=0;
51         x=A;
52         while ( x )
53         {
54             y=x%10;
55             sum+=y*pow_[cnt++];
56             x/=10;
57         }
58         printf("Case #%d: %d\n",h,solve(B));
59     }
60     return 0;
61 }

HDOJ4734

4.(POJ3252)http://poj.org/problem?id=3252

题意：求一个范围内满足，二进制下0的位数>=1的位数的个数

分析：将原先的十进制一位转化为二进制一位.此题要在dfs中添加bool型的lead表示前导0，因为这题需要拿0的个数和1的个数比较，所以需要考虑前导0.同时dp数组的第二维记录的是0的个数-1的个数。因为可能为负，所以初始值不为0，而记一个较大的数（我记的是32，只要能使得过程不为负即可）

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<algorithm>
 4 using namespace std;
 5 typedef long long ll;
 6 int a[50];
 7 ll dp[50][66];
 8 ll dfs(int pos,int sta,bool lead,bool limit)
 9 {
10     if ( pos==-1 ) return sta>=32;
11     if ( !limit && !lead && dp[pos][sta]!=-1 ) return dp[pos][sta];
12     int up=limit?a[pos]:1;
13     ll tmp=0;
14     for ( int i=0;i<=up;i++ )
15     {
16         if(lead && i==0) tmp+=dfs(pos-1,sta,lead,limit && i==a[pos]);
17         else tmp+=dfs(pos-1,sta+(i==0?1:-1),lead && i==0,limit && i==a[pos]);  
18     }    
19     if ( !limit&&!lead ) dp[pos][sta]=tmp;
20     return tmp;
21 }
22 
23 ll solve(ll x)
24 {
25     int pos=0;
26     while ( x )
27     {
28         a[pos++]=x%2;
29         x/=2;
30     }
31     return dfs(pos-1,32,true,true);
32 }
33 
34 int main()
35 {
36     ll l,r;
37     memset(dp,-1,sizeof(dp));
38     while ( scanf("%lld%lld",&l,&r)!=EOF )
39     {
40         printf("%lld\n",solve(r)-solve(l-1));
41     }
42     return 0;
43 }

POJ3252

5.(HDOJ5179)http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5179

题意：给定一个数A,a数组从0开始对应着数A从左到右的每一尾，现在要求数A右边的数都不比左边的数大，同时要求在左边的数去模右边的数都为0

分析：dp数组的第二维记录前一位数是多少即可。转移时要转移到比前一位数小的数同时要被前一位数取模为0的数

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<algorithm>
 4 using namespace std;
 5 typedef long long ll;
 6 int a[20];
 7 int dp[20][12];
 8 int dfs(int pos,int sta,bool lead,bool limit)
 9 {
10     if ( pos==-1 ) return 1;
11     if ( !limit && !lead && dp[pos][sta]!=-1 ) return dp[pos][sta];
12     int up=limit?a[pos]:9;
13     int tmp=0;
14     for ( int i=0;i<=up;i++ )
15     {
16         if ( !lead&&i==0 ) continue;
17         if ( lead )
18         {
19             tmp+=dfs(pos-1,i,lead && i==0,limit&&i==a[pos]);
20             continue;
21         }
22         if ( i>sta&&sta!=-1 ) break;
23         if ( sta%i!=0 && sta!=-1 ) continue;
24         tmp+=dfs(pos-1,i,lead && i==0,limit&&i==a[pos]);
25     }    
26     if ( !limit&&!lead ) dp[pos][sta]=tmp;
27     return tmp;
28 }
29 
30 int solve(int x)
31 {
32     int pos=0;
33     while ( x )
34     {
35         a[pos++]=x%10;
36         x/=10;
37     }
38     return dfs(pos-1,-1,true,true);
39 }
40 
41 int main()
42 {
43     int l,r,T;
44     scanf("%d",&T);
45     memset(dp,-1,sizeof(dp));
46     while ( T-- )
47     {
48         scanf("%d%d",&l,&r);
49         printf("%d\n",solve(r)-solve(l-1));
50     }
51     return 0;
52 }

HDOJ5179

6.（HDOJ3652）http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3652

题意：给定一个范围，求该范围内不含13同时不是13倍数的数的个数

分析：设置三维数组dp[i][j][k]，第一维表示位置，第二维表示13的余数，

第三维有三个值，0代表此前还未出现过13同时前一位不为1，1代表此前还未出现过13同时前1位位1，2代表此前已经出现过了13

最后判断时，只有当第二维为0，第三维为2时才加入计数

注意第三维转移时到底是多少

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<algorithm>
 4 using namespace std;
 5 typedef long long ll;
 6 int a[20];
 7 int dp[20][15][3];
 8 int dfs(int pos,int rem,int sta,bool limit)
 9 {
10     if ( pos==-1 ) return rem==0&&sta==2;
11     if ( !limit && dp[pos][rem][sta]!=-1 ) return dp[pos][rem][sta];
12     int up=limit?a[pos]:9;
13     int tmp=0;
14     for ( int i=0;i<=up;i++ )
15     {
16         int x=sta;
17         if ( sta==0 && i==1 ) x=1;
18         if ( sta==1 && i!=1 ) x=0;
19         if ( sta==1 && i==3 ) x=2;
20         tmp+=dfs(pos-1,(rem*10+i)%13,x,limit&&i==a[pos]);
21     }    
22     if ( !limit ) dp[pos][rem][sta]=tmp;
23     return tmp;
24 }
25 
26 int solve(int x)
27 {
28     int pos=0;
29     while ( x )
30     {
31         a[pos++]=x%10;
32         x/=10;
33     }
34     return dfs(pos-1,0,0,true);
35 }
36 
37 int main()
38 {
39     int l,r;
40     memset(dp,-1,sizeof(dp));
41     while ( scanf("%d",&r)!=EOF )
42     {
43         printf("%d\n",solve(r));
44     }
45     return 0;
46 }

HDOJ3652

以上是关于专题训练之数位DP的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章

ACM专题

数位dp专题之Beautiful numbers

专题数位DP

「kuangbin带你飞」专题十五数位DP

数位dp专题