并查集理解与应用

Posted 2020-11-11 migeater

disjoint-set data structure

union-find data structure

merge-find set

记号

#define fori(n) for(int i=0;i<(n);i++)

#define Mem(x) memset((x),0,sizeof(x));

定义

树形的数据结构,用于处理不相交集合的合并与查询问题;

但不支持分割集合

应用

• 维护无向图的连通性,

  判断两个点是否在同一联通块内,增加一条边是否产生环

实现

用数组储存,[树]结构实现

用数字代表元素:

parent(x)表示x在树形结构上的父节点对应的数字,

用代表元表示每个联通块.

举例说明

现在有编号为 2,4,6的三个结点

如果 p[2]=4;表明 2号结点指向 4号结点

4号结点表示 {2,4} 联通块

操作

• CREATE_SET(x);用{x}创建新集合
• MERGE-SETS(x,y) 将x,y所属集合合并
• FIND-SET(x) 返回x所在集合的代表元

  结构

     

  

     

  

     

  

  使用两个优化要点达到近乎常数时间

  • union by rank
    • 作者更喜欢union by size …

      让更"矮"的树的根指向更"高"的树

      建立数组rank[]来判断树深度,

      CREATE-SET(x)时,rank[x]=0,

      当MERGE时,rank更大的根将成为更小的根的parent;如果两根rank相同,就任选一个父根,并且增加父根的root的值

void unite(int x,int y){ 　　int xx=find(x); 　　int yy=find(y); 　　//if(xx==yy) return; 　　if(rank[xx]<rank[yy]) 　　　　p[xx]=yy; 　　else 　　　　p[yy]=xx;     　　if(rank[xx]==rank[yy]) 　　　　rank[xx]++; }

• 用path compression↓后,为了简单起见,不再谢盖rank的值,rank[]不再具有实际意义,仍能加快算法<可能需要深入了解相关论文<
• 也可以union by size(用树的体积,这样path compression 就无影响)

• path compression 路径压缩

  make each node on the find path point directly to the root

  具体见find函数的代码部分

  

加深印象

https://www.hackerearth.com/zh/practice/notes/disjoint-set-union-union-find/

可以访问诸如↑网站,可以看到丰富的图像,用图片来解释unionset

代码

最基本的由三部分组成

void init(int n);

int find(int);

void unite(int a,int b);

前两部分基本上都一样

第三部分还可以优化,优化的方式也不同

init()

就那样

void init(int n){fori(n)p[i]=i;}//注意题目中的编号是否从1开始

void init(int n){ //union by rank 　　fori(n){ 　　　　rank[i]=0; 　　　　p[i]=i; 　　} }

find()

int find(int x){return p[u]==u?u:p[u]=find(p[u]);}

• unite()

void unite(int a,int b){ p[find(b)]=find(a); } //b→{a所在联通块}

• unite() with union by rank

void unite(int x,int y){ 　　x=find(x); 　　y=find(y); 　　//if(x==y) return; 　　if(rank[x]<rank[y]) 　　　　p[x]=y; 　　else 　　　　p[y]=x;     if(rank[x]==rank[y]) 　　rank[x]++; }

+各种应用需要的代码

/* 下标从 1 开始 */ int p[maxn]; set <int> point; //已经储存了并查集中的所有点 int flag; //是否有环 int cnt; //不同集合的合并次数 int size[maxn]; // 表示联通块含有的元素数量 int init(int n) { point.clear(); fori(n) { p[i] = i; size[i] = 1; } cnt=0; flag=0; } int find(int u) { return p[u]==u?u:p[u]=find(p[u]); } void unite(int a,int b) { int aa=find(a); int bb=find(b); if(aa==bb){ flag=1; }else if(size(aa)<size(bb)){ cnt++; p[aa]=bb; size[bb]+=size[aa]; }else{ cnt++; p[bb]=aa; size[aa]+=size[bb]; } }

时间复杂度研究

假设创建了n次集合,使用了f次find操作

不用任何优化

仅使用路径压缩

仅使用union by rank/size

两次优化