manacher算法求最长回文子序列

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了manacher算法求最长回文子序列相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

一:背景

给定一个字符串,求出其最长回文子串。例如:

    1. s="abcd",最长回文长度为 1;
    2. s="ababa",最长回文长度为 5;
    3. s="abccb",最长回文长度为 4,即bccb。

以上问题的传统思路大概是,遍历每一个字符,以该字符为中心向两边查找。其时间复杂度为O(n^2),效率很差。

1975年,一个叫Manacher的人发明了一个算法,Manacher算法(中文名:马拉车算法),该算法可以把时间复杂度提升到O(n)。下面来看看马拉车算法是如何工作的。

 

二:算法过程分析

由于回文分为偶回文(比如 bccb)和奇回文(比如 bcacb),而在处理奇偶问题上会比较繁琐,所以这里我们使用一个技巧,具体做法是:在字符串首尾,及各字符间各插入一个字符(前提这个字符未出现在串里)。

举个例子:s="abbahopxpo",转换为s_new="$#a#b#b#a#h#o#p#x#p#o#"(这里的字符 $ 只是为了防止越界,下面代码会有说明),如此,s 里起初有一个偶回文abba和一个奇回文opxpo,被转换为#a#b#b#a##o#p#x#p#o#,长度都转换成了奇数

定义一个辅助数组int p[],其中p[i]表示以 i 为中心的最长回文的半径,例如:

 

 

i012345678910111213141516171819
s_new[i] $ # a # b # b # a # h # o # p # x # p #
p[i]   1 2 1 2 5 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 4 1 2 1

 

可以看出,p[i] - 1正好是原字符串中最长回文串的长度。

接下来的重点就是求解 p 数组,如下图:
技术分享图片
设置两个变量,mx 和 id 。mx 代表以 id 为中心的最长回文的右边界,也就是mx = id + p[id]

假设我们现在求p[i],也就是以 i 为中心的最长回文半径,如果i < mx,如上图,那么:

if (i < mx)  
    p[i] = min(p[2 * id - i], mx - i);

2 * id - i为 i 关于 id 的对称点,即上图的 j 点,而p[j]表示以 j 为中心的最长回文半径,因此我们可以利用p[j]来加快查找。

 

三:代码

//指定位置判断回文,此题为指定包含最后一个的最长回文序列。
char ma[maxn*2], s[maxn];
int  mp[maxn*2];
int ans,Mlen;
void Manacher(char s[],int len)
{
    int l=0;
    ma[l++]=$;
    ma[l++]=#;
    for(int i=0; i<len; i++)
    {
        ma[l++]=s[i];
        ma[l++]=#;
    }
    ma[l]=0;
    int mx=0,id=0;
    for(int i=0; i<l; i++)
    {
        mp[i]=mx>i?min(mp[2*id-i],mx-i):1;
        while(ma[i+mp[i]]==ma[i-mp[i]])
            mp[i]++;
        if(i+mp[i]>mx)
        {
            mx=i+mp[i];
            id=i;
        }
// 这里可以check(ma[i])        
ans=max(ans,mp[i]-1);
        if(mp[i]-1+i==l-1)
            Mlen=max(Mlen,mp[i]-1);
    }
}

int main()
{
    int T;
    cin>>T;
    int kcase = 1;
    while(T--)
    {
        memset(ma,0,sizeof(ma));
        memset(mp,0,sizeof(mp));
        cin>>s;
        int len=strlen(s);
        ans=0;
        Mlen=0;
        Manacher(s,len);
        if(ans == len)
            printf("Case %d: %d\n", kcase++, ans);
        else
            printf("Case %d: %d\n", kcase++, len - Mlen + len);
    }
}

 

 

四:题目

这个题目就是在原来的基础上添加了一个判断条件,看清楚在哪里添加。

//101350I - 2017 ACM Arabella Collegiate Programming Contest - Mirrored String II 
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1010;
char ma[maxn*2];
int  mp[maxn*2];
char s[maxn];
int check(char zzz)
{
    if(zzz==A||zzz==H||zzz==I||zzz==M||zzz==O||zzz==#||
            zzz==T||zzz==U||zzz==V||zzz==W||zzz==X||zzz==Y)
        return 1;
    return 0;
}

void Manacher(char s[],int len)
{
    int l=0;
    ma[l++]=$;
    ma[l++]=#;
    for(int i=0; i<len; i++)
    {
        ma[l++]=s[i];
        ma[l++]=#;
    }
    ma[l]=0;
    int mx=0,id=0;
    for(int i=0; i<l; i++)
    {
        mp[i]=mx>i?min(mp[2*id-i],mx-i):1;
        while(check(ma[i+mp[i]])&&ma[i+mp[i]]==ma[i-mp[i]])//在这里添加check
        {
            mp[i]++;
        }
        if(i+mp[i]>mx)
        {
            mx=i+mp[i];
            id=i;
        }
    }
}

int main()
{
    int T;
    cin>>T;
    while(T--)
    {
        cin>>s;
        int len=strlen(s);
        Manacher(s,len);
        int ans=0;
        for(int i=0; i<len*2+2; i++)
            if(check(ma[i]))//这里添加check
                ans=max(ans,mp[i]-1);
        cout<<ans<<endl;
    }
}

 





以上是关于manacher算法求最长回文子序列的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

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