题解报告——天使玩偶

Posted 2020-11-10 genius777

题目描述

Ayu 在七年前曾经收到过一个天使玩偶，当时她把它当作时间囊埋在了地下。而七年后 的今天，Ayu 却忘了她把天使玩偶埋在了哪里，所以她决定仅凭一点模糊的记忆来寻找它。

我们把 Ayu 生活的小镇看作一个二维平面坐标系，而 Ayu 会不定时地记起可能在某个点 (xmy) 埋下了天使玩偶；或者 Ayu 会询问你，假如她在 (x,y) ，那么她离近的天使玩偶可能埋下的地方有多远。

因为 Ayu 只会沿着平行坐标轴的方向来行动，所以在这个问题里我们定义两个点之间的距离为dist(A,B)=|Ax-Bx|+|Ay-By|。其中 Ax 表示点 A的横坐标，其余类似。

输入输出格式

输入格式：

 

第一行包含两个整数n和m ，在刚开始时，Ayu 已经知道有n个点可能埋着天使玩偶， 接下来 Ayu 要进行m 次操作

接下来n行，每行两个非负整数 (xi,yi)，表示初始n个点的坐标。

再接下来m 行，每行三个非负整数 t,xi,yi。

如果t=1 ，则表示 Ayu 又回忆起了一个可能埋着玩偶的点 (xi,yi) 。

如果t=2 ，则表示 Ayu 询问如果她在点 (xi,yi) ，那么在已经回忆出来的点里，离她近的那个点有多远

 

输出格式：

 

对于每个t=2 的询问，在单独的一行内输出该询问的结果。

 

输入输出样例

输入样例#1： 

2 3 
1 1 
2 3 
2 1 2 
1 3 3 
2 4 2

输出样例#1： 

1 
2

说明

n,m<=300 000

xi,yi<=1 000 000

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【思路分析】

这道题其实发现很像上一道CDQ ——Mokia。

但是我们发现我们并不是只查在其左下方的点，而是离其最近的点，所以我们一次CDQ肯定不现实啊，所以我们就要四次CDQ，每次CDQ对应一个方向（左下，左上，右下，右上）。然后做四次CDQ。

我们怎么实现四个方向的CDQ都等效成查左下方呢？？？我们只需要将这个图翻转一下，具体如下：

    //maxx为x、y上限 
    for(int i=1;i<=cnt;i++) que[i]=temp[i];CDQ(1,cnt);//第一次正常查左下方 
    for(int i=1;i<=cnt;i++) que[i]=temp[i],que[i].x=maxx-temp[i].x;CDQ(1,cnt);//用maxx减去x后,原本值大的变成了值小的，就相当于进行左右的反转，相当于查右下方 
    for(int i=1;i<=cnt;i++) que[i]=temp[i],que[i].y=maxx-temp[i].y;CDQ(1,cnt);//同理,相当于查左上方 
    for(int i=1;i<=cnt;i++) que[i]=temp[i],que[i].x=maxx-temp[i].x,que[i].y=maxx-temp[i].y;CDQ(1,cnt);//相当于查右上方    

然后我们发现我们并不是求点的个数，而是距离其最近的点，所以看似树状数组没法实现查前驱后继，但是我们发现这道题一个很妙妙的性质，就是两个点的距离被定义为|x1-x2|+|y1-y2|。由于我们已经进行了翻转，所以我们每次等效查的是左下方的最近点，所以易证两个绝对值内都是正数，可以直接打开绝对值变为（x1+y1）-（x2+y2）。所以美滋滋，我们可以将x+y作为一个整体进行维护，我们只要保证（x2+y2）最大，那么结果最小。我们就可以用树状数组来维护区间最大值了，不用维护前驱后继了。

最后我们就只需要像Mokia一样，进行二维区间查询即可。

 

这里提一下树状数组清空时的一个小优化，我们当然可以像Mokia那样，在每次结束时清空一下，但其实我们发现还有一种更优秀的方法：

我们设立一个tag数组，标记树状数组的每个值，表示上一次对其操作时是CDQ到了第几层，再用一个cl变量记录层数，每递归CDQ一次就加一。

如果是修改操作我们就判断修改最大值是否合理（也就是判断是否修改后比修改前更优）或者是不是上一次修改不在这一层CDQ中。

如果是询问操作，那只有当前节点的修改tag是这一层的cl，才进行比较。

具体可以看代码实现。

 

最后注明，这道题似乎贼卡CDQ，如果能写KD-Tree自然就很优秀了，所以要是写CDQ的话，一定要把你能用的优化、剪枝用上，然后记得吸口氧气优化一下。

 我还发现原来归并排第二维似乎比sort要快不少的样子，什么鬼？？？

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【代码实现】

 

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<algorithm>
 4 #include<cctype>
 5 #define lowbit(x) x&(-x)
 6 using namespace std;
 7 inline char gc(){
 8     static char buf[1000000], *p1 = buf, *p2 = buf;
 9     return p1 == p2 && (p2 = (p1 = buf) + fread(buf, 1, 1000000, stdin), p1 == p2) ? EOF : *p1++;
10 }
11 inline void read(int &x){
12     bool f=x=0;
13     char c=gc();
14     while(!isdigit(c))c=gc();
15     while(isdigit(c))x=x*10+c-48,c=gc();
16 }
17 
18 const int N=1e6+100;
19 const int maxn=6e5+5;
20 const int INF=0x3f3f3f3f;
21 struct sd{
22     int kind,x,y,time;
23 }que[maxn],temp[maxn],tt[maxn];
24 
25 int t[N],ans[N],tag[N],maxx=1e6+5,cnt,cl;
26 bool cmp(sd a,sd b)
27 {
28     if(a.x!=b.x) return a.x<b.x;
29     if(a.y!=b.y) return a.y<b.y;
30     return a.kind<b.kind;
31 }
32 void add(int v,int ww)
33 {
34     for(;v<=maxx;v+=lowbit(v))
35     if(t[v]<ww||tag[v]!=cl) t[v]=ww,tag[v]=cl;
36 }
37 int ask(int v)
38 {
39     int res=-INF;
40     for(;v;v-=lowbit(v))
41     if(tag[v]==cl) res=max(res,t[v]);
42     return res;
43 }
44 void CDQ(int l,int r)
45 {
46     if(l==r) return;
47     int mid=(l+r)>>1,tl=l,tr=mid+1,gg=l;
48     CDQ(l,mid),CDQ(mid+1,r);++cl;
49     while(tl<=mid&&tr<=r)
50     if(cmp(que[tl],que[tr])) tt[gg++]=que[tl++];
51     else tt[gg++]=que[tr++];
52     while(tl<=mid) tt[gg++]=que[tl++];
53     while(tr<=r) tt[gg++]=que[tr++];
54     
55     for(int i=l;i<=r;i++)
56     {
57         que[i]=tt[i];
58         if(que[i].time<=mid&&!que[i].kind) add(que[i].y,que[i].x+que[i].y);
59         if(que[i].time>mid&&que[i].kind) ans[que[i].time]=min(ans[que[i].time],que[i].x+que[i].y-ask(que[i].y));
60     }
61 }
62 int main()
63 {
64     int n,m,a,b,ord;
65     read(n),read(m);
66     fill(ans+n+1,ans+n+m+1,INF);
67     for(int i=1;i<=n;i++)
68     read(a),read(b),a++,b++,temp[++cnt]=(sd){0,a,b,cnt};
69     for(int i=1;i<=m;i++)
70     read(ord),read(a),read(b),a++,b++,temp[++cnt]=(sd){ord-1,a,b,cnt};
71     for(int i=1;i<=cnt;i++) que[i]=temp[i];CDQ(1,cnt);
72     for(int i=1;i<=cnt;i++) que[i]=temp[i],que[i].x=maxx-temp[i].x;CDQ(1,cnt);
73     for(int i=1;i<=cnt;i++) que[i]=temp[i],que[i].y=maxx-temp[i].y;CDQ(1,cnt);
74     for(int i=1;i<=cnt;i++) que[i]=temp[i],que[i].x=maxx-temp[i].x,que[i].y=maxx-temp[i].y;CDQ(1,cnt);        
75     for(int i=n+1;i<=cnt;i++) if(temp[i].kind) printf("%d\n",ans[i]);
76     return 0;
77 }