贝叶斯个性化排序(BPR)算法小结

Posted 2020-11-10 刘建平Pinard

　　　　在矩阵分解在协同过滤推荐算法中的应用中，我们讨论过像funkSVD之类的矩阵分解方法如何用于推荐。今天我们讲另一种在实际产品中用的比较多的推荐算法:贝叶斯个性化排序(Bayesian Personalized Ranking, 以下简称BPR)，它也用到了矩阵分解，但是和funkSVD家族却有很多不同之处。下面我们来详细讨论。

1.  BPR算法使用背景

　　　　在很多推荐场景中，我们都是基于现有的用户和商品之间的一些数据，得到用户对所有商品的评分，选择高分的商品推荐给用户，这是funkSVD之类算法的做法，使用起来也很有效。但是在有些推荐场景中，我们是为了在千万级别的商品中推荐个位数的商品给用户，此时，我们更关心的是用户来说，哪些极少数商品在用户心中有更高的优先级，也就是排序更靠前。也就是说，我们需要一个排序算法，这个算法可以把每个用户对应的所有商品按喜好排序。BPR就是这样的一个我们需要的排序算法。

2.  排序推荐算法背景介绍

　　　　 排序推荐算法历史很悠久，早在做信息检索的各种产品中就已经在使用了。最早的第一类排序算法类别是点对方法(Pointwise Approach)，这类算法将排序问题被转化为分类、回归之类的问题，并使用现有分类、回归等方法进行实现。第二类排序算法是成对方法(Pairwise Approach)，在序列方法中，排序被转化为对序列分类或对序列回归。所谓的pair就是成对的排序，比如(a,b)一组表明a比b排的靠前。我们要讲到的BPR就属于这一类。第三类排序算法是列表方法(Listwise Approach)，它采用更加直接的方法对排序问题进行了处理。它在学习和预测过程中都将排序列表作为一个样本。排序的组结构被保持。

　　　　本文关注BPR，这里我们对排序推荐算法本身不多讲，如果大家感兴趣，可以阅读李航的A Short Introduction to Learning to Rank.

3. BPR建模思路

　　　　在BPR算法中，我们将任意用户u对应的物品进行标记，如果用户u在同时有物品i和j的时候点击了i，那么我们就得到了一个三元组$<u,i,j>$，它表示对用户u来说，i的排序要比j靠前。如果对于用户u来说我们有m组这样的反馈，那么我们就可以得到m组用户u对应的训练样本。

　　　　既然是基于贝叶斯，那么我们也就有假设，这里的假设有两个：一是每个用户之间的偏好行为相互独立，即用户u在商品i和j之间的偏好和其他用户无关。二是同一用户对不同物品的偏序相互独立，也就是用户u在商品i和j之间的偏好和其他的商品无关。为了便于表述，我们用$>_u$符号表示用户u的偏好，上面的$<u,i,j>$可以表示为：$i>_uj$。

　　　　在BPR中，这个排序关系符号$>_u$满足完全性，反对称性和传递性，即对于用户集U和物品集I：

　　　　完整性：$\\forall i,j \\in I: i \\neq j \\Rightarrow i >_u j\\; \\cup\\;  j>_u i$

　　　　反对称性：$\\forall i,j \\in I: i >_u j\\; \\cap\\;  j>_u i \\Rightarrow i=j$

　　　　传递性：$\\forall i,j,k \\in I: i >_u j\\; \\cap\\;  j>_u k \\Rightarrow i>_uk$

　　　　同时，BPR也用了和funkSVD类似的矩阵分解模型，这里BPR对于用户集U和物品集I的对应的$U \\times I$的预测排序矩阵$\\overline{X}$，我们期望得到两个分解后的用户矩阵$W$($|U| \\times k$)和物品矩阵$H$($|I| \\times k$)，满足$$\\overline{X} = WH^T$$

　　　　这里的k和funkSVD类似，也是自己定义的，一般远远小于$|U|,|I|$。

　　　　由于BPR是基于用户维度的，所以对于任意一个用户u，对应的任意一个物品i我们期望有：$$\\overline{x}_{ui} = w_u \\bullet h_i = \\sum\\limits_{f=1}^kw_{uf}h_{if}$$

　　　　最终我们的目标，是希望寻找合适的矩阵$W,H$，让$\\overline{X}$和$X$最相似。读到这里，也许你会说，这和funkSVD之类的矩阵分解模型没有什么区别啊？ 的确，现在还看不出，下面我们来看看BPR的算法优化思路，就会慢慢理解和funkSVD有什么不同了。

4. BPR的算法优化思路

　　　　BPR 基于最大后验估计$P(W,H|>_u)$来求解模型参数$W,H$,这里我们用$\\theta$来表示参数$W$和$H$, $>_u$代表用户u对应的所有商品的全序关系,则优化目标是$P(\\theta|>_u)$。根据贝叶斯公式，我们有：$$P(\\theta|>_u) = \\frac{P(>_u|\\theta)P(\\theta)}{P(>_u)}$$

　　　　由于我们求解假设了用户的排序和其他用户无关，那么对于任意一个用户u来说，$P(>_u)$对所有的物品一样，所以有：$$P(\\theta|>_u) \\propto P(>_u|\\theta)P(\\theta)$$

　　　　这个优化目标转化为两部分。第一部分和样本数据集D有关，第二部分和样本数据集D无关。

　　　　对于第一部分，由于我们假设每个用户之间的偏好行为相互独立，同一用户对不同物品的偏序相互独立，所以有：$$\\prod_{u \\in U}P(>_u|\\theta) = \\prod_{(u,i,j) \\in (U \\times I \\times I)}P(i >_u j|\\theta)^{\\delta((u,i,j) \\in D)}(1-P(i >_u j|\\theta))^{\\delta((u,j,i) \\not\\in D) }$$

　　　　其中，$$\\delta(b)= \\begin{cases} 1& {if\\; b\\; is \\;true}\\\\ 0& {else} \\end{cases}$$　　　

　　　　根据上面讲到的完整性和反对称性，优化目标的第一部分可以简化为：$$\\prod_{u \\in U}P(>_u|\\theta) = \\prod_{(u,i,j) \\in D}P(i >_u j|\\theta)$$

　　　　而对于$P(i >_u j|\\theta)$这个概率，我们可以使用下面这个式子来代替:$$P(i >_u j|\\theta) = \\sigma(\\overline{x}_{uij}(\\theta))$$

　　　　其中，$\\sigma(x)$是sigmoid函数。这里你也许会问，为什么可以用这个sigmoid函数来代替呢? 其实这里的代替可以选择其他的函数，不过式子需要满足BPR的完整性，反对称性和传递性。原论文作者这么做除了是满足这三个性质外，另一个原因是为了方便优化计算。

　　　　对于$\\overline{x}_{uij}(\\theta)$这个式子，我们要满足当$i >_u j$时，$\\overline{x}_{uij}(\\theta) > 0$, 反之当$j >_u i$时，$\\overline{x}_{uij}(\\theta) < 0$，最简单的表示这个性质的方法就是$$\\overline{x}_{uij}(\\theta) = \\overline{x}_{ui}(\\theta) - \\overline{x}_{uj}(\\theta)$$

　　　　而$\\overline{x}_{ui}(\\theta) , \\overline{x}_{uj}(\\theta)$，就是我们的矩阵$ \\overline{X}$对应位置的值。这里为了方便，我们不写$\\theta$,这样上式可以表示为:$$\\overline{x}_{uij} = \\overline{x}_{ui} - \\overline{x}_{uj}$$

　　　　注意上面的这个式子也不是唯一的，只要可以满足上面提到的当$i >_u j$时，$\\overline{x}_{uij}(\\theta) > 0$，以及对应的相反条件即可。这里我们仍然按原论文的式子来。

　　　　最终，我们的第一部分优化目标转化为：$$\\prod_{u \\in U}P(>_u|\\theta) = \\prod_{(u,i,j) \\in D} \\sigma(\\overline{x}_{ui} - \\overline{x}_{uj})$$　　　　

　　　　对于第二部分$P(\\theta)$，原作者大胆使用了贝叶斯假设，即这个概率分布符合正太分布，且对应的均值是0，协方差矩阵是$\\lambda_{\\theta}I$,即$$P(\\theta) \\sim N(0, \\lambda_{\\theta}I)$$

　　　　原作者为什么这么假设呢？个人觉得还是为了优化方便，因为后面我们做优化时，需要计算$lnP(\\theta) $，而对于上面假设的这个多维正态分布，其对数和$||\\theta||^2$成正比。即：$$lnP(\\theta) = \\lambda||\\theta||^2$$

　　　　最终对于我们的最大对数后验估计函数$ln\\;P(\\theta|>_u) \\propto ln\\;P(>_u|\\theta)P(\\theta) = ln\\;\\prod\\limits_{(u,i,j) \\in D} \\sigma(\\overline{x}_{ui} - \\overline{x}_{uj}) + ln P(\\theta) = \\sum\\limits_{(u,i,j) \\in D}ln\\sigma(\\overline{x}_{ui} - \\overline{x}_{uj}) + \\lambda||\\theta||^2\\;$　　　

　　　　这个式子可以用梯度上升法或者牛顿法等方法来优化求解模型参数。如果用梯度上升法，对$\\theta$求导，我们有： $$\\frac{\\partial ln\\;P(\\theta|>_u)}{\\partial \\theta} \\propto \\sum\\limits_{(u,i,j) \\in D} \\frac{1}{1+e^{\\overline{x}_{ui} - \\overline{x}_{uj}}}\\frac{\\partial (\\overline{x}_{ui} - \\overline{x}_{uj})}{\\partial \\theta} + \\lambda \\theta$$

　　　　由于$$\\overline{x}_{ui} - \\overline{x}_{uj} = \\sum\\limits_{f=1}^kw_{uf}h_{if} - \\sum\\limits_{f=1}^kw_{uf}h_{jf}$$

　　　　这样我们可以求出：$$\\frac{\\partial (\\overline{x}_{ui} - \\overline{x}_{uj})}{\\partial \\theta} = \\begin{cases} (h_{if}-h_{jf})& {if\\; \\theta = w_{uf}}\\\\ w_{uf}& {if\\;\\theta = h_{if}} \\\\ -w_{uf}& {if\\;\\theta = h_{jf}}\\end{cases}$$　

　　　　有了梯度迭代式子，用梯度上升法求解模型参数就容易了。下面我们归纳下BPR的算法流程。

5. BPR算法流程

　　　　下面简要总结下BPR的算法训练流程：　　

　　　　输入：训练集D三元组，梯度步长$\\alpha$， 正则化参数$\\lambda$,分解矩阵维度k。　　　　　　　　　　

　　　　输出：模型参数，矩阵$W,H$

　　　　1. 随机初始化矩阵$W,H$

　　　　2. 迭代更新模型参数：

$$w_{uf} =w_{uf} + \\alpha(\\sum\\limits_{(u,i,j) \\in D} \\frac{1}{1+e^{\\overline{x}_{ui} - \\overline{x}_{uj}}}(h_{if}-h_{jf}) + \\lambda w_{uf}) $$

$$h_{if} =h_{if} + \\alpha(\\sum\\limits_{(u,i,j) \\in D} \\frac{1}{1+e^{\\overline{x}_{ui} - \\overline{x}_{uj}}}w_{uf} + \\lambda h_{if}) $$

$$h_{jf} =h_{jf} + \\alpha(\\sum\\limits_{(u,i,j) \\in D} \\frac{1}{1+e^{\\overline{x}_{ui} - \\overline{x}_{uj}}}(-w_{uf}) + \\lambda h_{jf}) $$

　　　　3. 如果$W,H$收敛，则算法结束，输出W,H，否则回到步骤2.

　　　　当我们拿到$W,H$后，就可以计算出每一个用户u对应的任意一个商品的排序分：$\\overline{x}_{ui} = w_u \\bullet h_i $，最终选择排序分最高的若干商品输出。

6. BPR小结

　　　　BPR是基于矩阵分解的一种排序算法，但是和funkSVD之类的算法比，它不是做全局的评分优化，而是针对每一个用户自己的商品喜好分贝做排序优化。因此在迭代优化的思路上完全不同。同时对于训练集的要求也是不一样的，funkSVD只需要用户物品对应评分数据二元组做训练集，而BPR则需要用户对商品的喜好排序三元组做训练集。

　　　　在实际产品中，BPR之类的推荐排序在海量数据中选择极少量数据做推荐的时候有优势，因此在某宝某东等大厂中应用也很广泛。由于BPR并不复杂，下一篇我会用tensorflow来做一个BPR的实践，敬请期待。

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