[UOJ198]时空旅行

Posted 2020-11-10 jefflyy

看懂题目就知道$y,z$是没用的，这题相当于是给一堆$(x_i,c_i)$和询问$x_q$，要求$(x_q-x_i)^2+c_i$的最大值

先把这个式子拆开：$-2x_ix_q+x_i^2+c_i+x_q^2$，那么询问就是求一堆直线$y=-2x_ix+x_i^2+c_i$在$x=x_q$处的最小值，维护坐标轴底端的上凸壳即可

再看题目中关于“时空”的限制，其实就是给一棵树，某一些点会有标记表示以这个点为根的子树内有/没有一条直线，我们用dfs序在线段树上覆盖对应区间并预处理出每个线段树节点的凸壳即可

把询问按$x$排序，那么我们查询时就可以在线段树上利用单调性做到$O(m\log_2n+n)$

总时间复杂度$O(n\log_2^2n+m\log_2n)$

代码准确度++

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef double du;
const du eps=1e-8;
const ll inf=9223372036854775807ll;
int h[500010],nex[500010],to[500010],in[500010],ou[500010],M;
void add(int a,int b){
	M++;
	to[M]=b;
	nex[M]=h[a];
	h[a]=M;
}
void dfs(int x){
	M++;
	in[x]=M;
	for(int i=h[x];i;i=nex[i])dfs(to[i]);
	ou[x]=M;
}
ll c[500010],x[500010];
int at[500010];
vector<int>pl[2000010],del[500010],tmp;
vector<int>::iterator it;
bool cmp1(int x,int y){return in[x]<in[y];}
bool cmp2(int i,int j){return(x[i]==x[j])?x[i]*x[i]+c[i]>x[j]*x[j]+c[j]:(x[i]<x[j]);}
void modify(int L,int R,int v,int l,int r,int x){
	if(L<=l&&r<=R)return pl[x].push_back(v);
	int mid=(l+r)>>1;
	if(L<=mid)modify(L,R,v,l,mid,x<<1);
	if(mid<R)modify(L,R,v,mid+1,r,x<<1|1);
}
du ins(int i,int j){return(x[i]*x[i]+c[i]-x[j]*x[j]-c[j])/((x[i]-x[j])*2.);}
bool leq(du x,du y){return x-y<eps;}
void dfs(int l,int r,int u){
	sort(pl[u].begin(),pl[u].end(),cmp2);
	tmp.clear();
	for(it=pl[u].begin();it!=pl[u].end();it++){
		while(!tmp.empty()){
			if(x[*tmp.rbegin()]==x[*it]){
				tmp.pop_back();
				continue;
			}
			if(tmp.size()==1)break;
			if(leq(ins(*tmp.rbegin(),*it),ins(tmp[tmp.size()-2],*it)))
				tmp.pop_back();
			else
				break;
		}
		tmp.push_back(*it);
	}
	pl[u]=tmp;
	if(l==r)return;
	int mid=(l+r)>>1;
	dfs(l,mid,u<<1);
	dfs(mid+1,r,u<<1|1);
}
struct ask{
	int s,id;
	ll x;
}q[500010];
ll ans[500010];
int head[2000010];
bool cmp3(ask a,ask b){return a.x<b.x;}
ll calc(int i,ll x0){return-2ll*x[i]*x0+x[i]*x[i]+c[i];}
ll query(int u,ll x0,int l,int r,int x){
	ll ans=inf;
	if(!pl[x].empty()){
		while(head[x]<(int)pl[x].size()-1&&leq(ins(pl[x][head[x]],pl[x][head[x]+1]),x0))head[x]++;
		ans=min(ans,calc(pl[x][head[x]],x0));
	}
	if(l==r)return ans;
	int mid=(l+r)>>1;
	if(u<=mid)
		ans=min(ans,query(u,x0,l,mid,x<<1));
	else
		ans=min(ans,query(u,x0,mid+1,r,x<<1|1));
	return ans;
}
int main(){
	int n,m,i,op,fr,id,y,z;
	scanf("%d%d%lld",&n,&m,c+1);
	at[1]=1;
	for(i=2;i<=n;i++){
		scanf("%d%d%d",&op,&fr,&id);
		fr++;
		id++;
		add(fr,i);
		if(op==0){
			scanf("%lld%d%d%lld",x+id,&y,&z,c+id);
			at[id]=i;
		}else
			del[id].push_back(i);
	}
	M=0;
	dfs(1);
	for(i=1;i<=n;i++){
		if(at[i]){
			sort(del[i].begin(),del[i].end(),cmp1);
			y=in[at[i]];
			for(it=del[i].begin();it!=del[i].end();it++){
				if(y<in[*it])modify(y,in[*it]-1,i,1,n,1);
				y=ou[*it]+1;
			}
			if(y<=ou[at[i]])modify(y,ou[at[i]],i,1,n,1);
		}
	}
	dfs(1,n,1);
	for(i=1;i<=m;i++){
		scanf("%d%lld",&q[i].s,&q[i].x);
		q[i].s++;
		q[i].id=i;
	}
	sort(q+1,q+m+1,cmp3);
	for(i=1;i<=m;i++)ans[q[i].id]=query(in[q[i].s],q[i].x,1,n,1)+q[i].x*q[i].x;
	for(i=1;i<=m;i++)printf("%lld\n",ans[i]);
}