LTI系统对WSS Processes的作用

Posted 2020-11-10 TaigaComplex求职中

本文主要专注讨论LTI系统对WSS Process的影响。WSS Process的主要特性有mean以及correlation，其中correlation特性在滤波器设计，信号检测，信号预测以及系统识别中扮演者非常重要的作用。

LTI系统的数学式由卷积定义，假设LTI系统的脉冲响应为$h(t)$，输入的WSS Process为$x(t)$，输出的Process为$y(t)$，那么有如下公式：

$\\displaystyle{y(t) = \\int_{-\\infty}^{+\\infty}h(v)x(t-v)dv=\\int_{-\\infty}^{+\\infty}x(v)h(t-v)dv}$

对于一个稳定的LTI系统来说，只要输入是有界的，那么输出也是有界的（BIBO）。不过我们这里的输入的是WSS Process，不同于固定的输入信号，比起要求每一个采样点上的输入都有界，要求$E[x^2(t)]=R_{xx}(0)$是有界的就足够了。（白噪声是特殊情况）

 

Mean/Expectation

WSS Processes在通过LTI系统之后，该process的mean为

$\\begin{align*}
\\mu_y = E[y(t)] &= E\\left\\{ \\int_{-\\infty}^{+\\infty}h(v)x(t-v)dv \\right\\}\\\\
&=\\int_{-\\infty}^{+\\infty}h(v)E[x(t-v)]dv\\\\
&=\\int_{-\\infty}^{+\\infty}h(v)\\mu_x dv\\\\
&=\\mu_x \\int_{-\\infty}^{+\\infty}h(v)dv\\\\
&=H(j0)\\mu_x
\\end{align*}$

这意味着输出的mean也是一个常数$\\mu_y$，输入输出的mean相差的倍数为$\\frac{\\mu_y}{\\mu_x} = H(j0)$，这个数值是该连续时间LTI系统的频率响应$H(j\\Omega)$在零点处的取值，我们也可以把它称为该LTI系统的DC增益（DC gain）。

 

 

Cross-correlation

WSS Process在LTI系统的输入输出有cross-correlation如下

$\\begin{align*}
E\\{y(t+\\tau)x(t)\\} &= E\\left\\{ \\left[\\int_{-\\infty}^{+\\infty}h(v)x(t+\\tau-v)dv \\right ]x(t)\\right \\}\\\\
&=\\int_{-\\infty}^{+\\infty}h(v)E\\Big\\{x(t+\\tau-v)x(t)\\Big\\}dv\\\\
&=\\int_{-\\infty}^{+\\infty}h(v)R_{xx}(\\tau-v)dv \\qquad x(t)\\ is\\ WSS\\ Process\\\\
&=h(\\tau)*R_{xx}(\\tau) \\qquad this\\ crosscorrelation\\ is\\ only\\ relevant\\ to\\ \\tau\\\\
&=R_{yx}(\\tau)
\\end{align*}$

从上面的式子也能得到如下关系：

输入输出的process之间的cross-correlation只与两者的时间延迟$\\tau$有关。

另外，根据WSS的相关性质，还可以得到

$R_{xy}(\\tau)=R_{yx}(-\\tau)=R_{xx}(-\\tau)*h(-\\tau)=R_{xx}(\\tau)*h(-\\tau)$

 

 

Auto-correlation

WSS Process在LTI系统的输出有auto-correlation如下

$\\begin{align*}
E\\{y(t+\\tau)y(t)\\} &= E\\left\\{ \\left[\\int_{-\\infty}^{+\\infty}h(v)x(t+\\tau-v)dv \\right ]y(t)\\right \\}\\\\
&=\\int_{-\\infty}^{+\\infty}h(v)E\\Big\\{x(t+\\tau-v)y(t)\\Big\\}dv\\\\
&=\\int_{-\\infty}^{+\\infty}h(v)R_{xy}(\\tau-v)dv \\\\
&=h(\\tau)*R_{xy}(\\tau) \\qquad this\\ autocorrelation\\ is\\ only\\ relevant\\ to\\ \\tau\\\\
&=R_{yy}(\\tau)
\\end{align*}$

从上面的式子也能得到如下关系：

WSS Process在经过LTI系统后所得到的输出的auto-correlation仅与时间差$\\tau$有关，并且前面也提到该输出process的mean是固定常数，因此输出仍然是WSS Process。

 

 

Jointly WSS

由于LTI系统的输入$x(t)$与输出$y(t)$都是WSS·Process，并且这两者的cross-correlation只与时间差$\\tau$有关，因此$x(t)$与$y(t)$是Jointly WSS的。

 

 

Summary

Continuous-Time

前面我们已经得出WSS process在经过LTI系统时的mean特性:

$\\mu_y=H(j0)\\mu_x$

 

correlation特性：

$\\begin{align*}
R_{yx}(\\tau)&=h(\\tau)\\ * \\ R_{xx}(\\tau)\\\\
R_{xy}(\\tau)&=h(-\\tau) * \\ R_{xx}(\\tau)\\\\
R_{yy}(\\tau)&=h(\\tau)\\ * \\ R_{xy}(\\tau)
\\end{align*}$

 

另外，covariance与correlation之间有关系$C_{x,y}(t+\\tau,t) = R_{x,y}(t+\\tau,t) + \\mu_x(t+\\tau)\\mu_y(t)$，并且此处$x(t),y(t)$均为WSS Process，因此有如下covariance特性：

$\\begin{align*}
C_{yx}(\\tau)&=h(\\tau)\\ * \\ C_{xx}(\\tau)\\\\
C_{xy}(\\tau)&=h(-\\tau) * \\ C_{xx}(\\tau)\\\\
C_{yy}(\\tau)&=h(\\tau)\\ * \\ C_{xy}(\\tau)
\\end{align*}$

 

通过上面的特性也能得到：

$\\begin{align*}
R_{yy}(\\tau)&=R_{xx}(\\tau)*\\underbrace{h(\\tau) * h(-\\tau)}_{h(\\tau) * h(-\\tau)\\triangleq\\overline{R}_{hh}(\\tau)}&=R_{xx}(\\tau)*\\overline{R}_{hh}(\\tau) \\\\
C_{yy}(\\tau)&=C_{xx}(\\tau)*\\underbrace{h(\\tau) * h(-\\tau)}_{h(\\tau) * h(-\\tau)\\triangleq\\overline{R}_{hh}(\\tau)}&=C_{xx}(\\tau)*\\overline{R}_{hh}(\\tau)
\\end{align*}$

在式子当中，我们定义了$\\overline{R}_{hh}(\\tau)$表示为LTI系统脉冲响应$h(\\tau)$与其对称函数进行卷积，有

$\\displaystyle{\\overline{R}_{hh}(\\tau)=h(\\tau)*h(-\\tau) = \\int_{-\\infty}^{+\\infty}h(t+\\tau)h(t)dt}$

我们把$\\overline{R}_{hh}(\\tau)$称为deterministic autocorrelation function of $h(t)$。

 

而在频域，令$S_{xx}(j\\Omega) = \\mathcal{F}\\Big(R_{xx}(\\tau)\\Big)$，有

$\\begin{align*}
S_{yx}(j\\Omega)&=H(j\\Omega) \\ S_{xx}(j\\Omega)\\\\
S_{xy}(j\\Omega)&=H^*(j\\Omega)  S_{xx}(j\\Omega)\\\\
S_{yy}(j\\Omega)&=H(j\\Omega) \\ S_{xy}(j\\Omega)
\\end{align*}$

※$h(t)$是实函数，那么$h(-t)$的傅里叶变换就是$H(j\\Omega)$的复共轭，即$H^*(j\\Omega)$，并且有$H(j\\Omega)H^*(j\\Omega) = |H(j\\Omega)|^2$。

同时也能推导出

$S_{yy}(j\\Omega) = S_{xx}(j\\Omega) H(j\\Omega) H^*(j\\Omega) = S_{xx}(j\\Omega)|H(j\\Omega)|^2$

 

Discrete-Time

同理，我们在离散时间的信号与系统中，可以得到

Mean：

$\\displaystyle{\\mu_y = \\mu_x\\sum_{-\\infty}^{\\infty}h[n]}$

Correlation:

$\\begin{align*}R_{yx}[m] &= h[m]*R_{xx}[m]\\\\
R_{xy}[m] &= h[-m]*R_{xx}[m]\\\\
R_{yy}[m] &= h[m]*R_{xy}[m]\\\\
R_{yy}[m] &= h[m]*h[-m]*R_{xx}[m] = \\overline{R}_{hh}[m]*R_{xx}[m]
\\end{align*}$

其中$\\overline{R}_{hh}[m]$为$h[m]$的deterministic autocorrelation function，定义如下

$\\displaystyle{ \\overline{R}_{hh}[m] = h[m]*h[-m]=\\sum_{-\\infty}^{\\infty}h[n+m]h[n] }$

 

上述关系式的傅里叶变换以及z变换有如下关系

$\\begin{align*}
\\mu_y &= H(e^{j0})\\mu_x ,& S_{yx}(e^{j\\Omega})&=S_{xx}(e^{j\\Omega})H(e^{j\\Omega}), &S_{yy}(e^{j\\Omega})&=S_{xx}(e^{j\\Omega})|H(e^{j\\Omega})|^2\\\\
\\mu_y &= H(1)\\mu_x ,& S_{yx}(z)&=S_{xx}(z)H(z) ,& S_{yy}(z)&=S_{xx}(z)H(z)H(1/z)
\\end{align*}$

※$h[m]$是实数序列，因此才可以得到$H(e^{j\\Omega})H(e^{-j\\Omega}) = |H(e^{j\\Omega})|^2$。

以上correlation式子也能写成covariance式子（略）。

 

Reference：

Alan V. Oppenheim: Signals, Systems and Inference, Chapter 9:Random Process