点集拓扑学习要点

Posted 2020-11-10 张祖锦的数学博客

学习这门课程有两大任务：学习这门课程的知识、学习逻辑推理的方法．

首先我们要明确：拓扑学研究的是什么？
我们知道，数学各个分支研究了各个不同的数学空间（数学集合），它们各具有不同的性质．这些集合有没有共性呢？它们最基础的结构是什么？
拓扑学研究的对象就是高度抽象了的这些数学空间的具有最基础结构的空间．它们只具有最基本的数学要求：开集．当然，为了能进行数学运算，这些开集必须满足 P55 的定义 2.2.1．我们把这样的空间称为拓扑空间．

拓扑学以拓扑空间为基本研究对象，运用集合运算的知识，延拓出闭集、导集、闭包、序列、基、子基等概念．
拓扑学以数学分析中的实数空间为基准，在拓扑空间中不断添加一些公理，构成了连通空间、可数性公理空间、分离性公理空间、紧致性空间等．它们与实数空间在哪些方面是相同的？
拓扑学研究连续映射、同胚变换，并研究在这些映射、变换之下，拓扑空间的哪些性质能被保留，哪些不能被保留？
拓扑学还研究了哪些性质能被遗传、有限可积、可商．
这是一门逻辑性极强的极抽象的推理性的课程．学习的难度较大，但学好了它，对数学能力的提高有很大的作用．
其次，只有掌握了这门课程的证明方法（逻辑推理的方法），才能称得上学好了这门课程．

学习这门课程，提醒大家注意以下几点：
（1）熟练掌握证明集合运算的常用方法．
如：要证明 $A\subset B$, $A=B$, $A$ 为开集 ($A\in\scrT$), $f$ 连续, $A$ 为闭集, $x\in d(A)$, $\sed{x_n}$ 收敛, $X$ 为 $A_1,A_2$, Lindeloff, $T_1, T_2,T_3,T_4$ 空间,正则空间,正规空间,完全正则空间，$X$ 为紧致空间等，应从哪儿入手？
（2）熟练掌握各种定义、定理，因为证明某个命题，往往是从定义出发去证明的．
（3）证明某个命题，要证到什么程度才算证完，要心中有数．证明的开头应如何写？
（4）每一步推理均要有根有据，根据只能是前面的定义、定理，有时也可参考一下集合的文氏图．
（5）证明时用到的根据切不可将数学分析中的结论想当然地引入，因为数学分析中的实数空间是非常完美的度量（拓扑）空间，既是 $A_1,A_2$ 的，又是 $T_4$ 的，…而要证的命题不一定具备这样的条件．

 

摘自: http://www.doc88.com/p-945522450511.html