[Shoi2017]寿司餐厅——最大权闭合子图

Posted 2020-11-09 JhinLZH

题目描述

Kiana最近喜欢到一家非常美味的寿司餐厅用餐。每天晚上，这家餐厅都会按顺序提供n种寿司，第i种寿司有一个

代号ai和美味度di,i，不同种类的寿司有可能使用相同的代号。每种寿司的份数都是无限的，Kiana也可以无限次

取寿司来吃，但每种寿司每次只能取一份，且每次取走的寿司必须是按餐厅提供寿司的顺序连续的一段，即Kiana

可以一次取走第1,2种寿司各一份，也可以一次取走第2,3种寿司各一份，但不可以一次取走第1,3种寿司。由于餐

厅提供的寿司种类繁多，而不同种类的寿司之间相互会有影响：三文鱼寿司和鱿鱼寿司一起吃或许会很棒，但和水

果寿司一起吃就可能会肚子痛。因此，Kiana定义了一个综合美味度di,j(i<j)，表示在一次取的寿司中，如果包含

了餐厅提供的从第i份到第j份的所有寿司，吃掉这次取的所有寿司后将获得的额外美味度。由于取寿司需要花费一

些时间，所以我们认为分两次取来的寿司之间相互不会影响。注意在吃一次取的寿司时，不止一个综合美味度会被

累加，比如若Kiana一次取走了第1,2,3种寿司各一份，除了d1,3以外，d1,2,d2,3也会被累加进总美味度中。神奇

的是，Kiana的美食评判标准是有记忆性的，无论是单种寿司的美味度，还是多种寿司组合起来的综合美味度，在

计入Kiana的总美味度时都只会被累加一次。比如，若Kiana某一次取走了第1,2种寿司各一份，另一次取走了第2,3

种寿司各一份，那么这两次取寿司的总美味度为d1,1+d2,2+d3,3+d1,2+d2,3，其中d2,2只会计算一次。奇怪的是，

这家寿司餐厅的收费标准很不同寻常。具体来说，如果Kiana一共吃过了c(c>0)种代号为x的寿司，则她需要为这些

寿司付出mx^2+cx元钱，其中m是餐厅给出的一个常数。现在Kiana想知道，在这家餐厅吃寿司，自己能获得的总美

味度（包括所有吃掉的单种寿司的美味度和所有被累加的综合美味度）减去花费的总钱数的最大值是多少。由于她

不会算，所以希望由你告诉她

输入

第一行包含两个正整数n,m，分别表示这家餐厅提供的寿司总数和计算寿司价格中使用的常数。

第二行包含n个正整数，其中第k个数ak表示第k份寿司的代号。

接下来n行，第i行包含n-i+1个整数，其中第j个数di,i+j-1表示吃掉寿司能

获得的相应的美味度，具体含义见问题描述。

N<=100,Ai<=1000

输出

输出共一行包含一个正整数，表示Kiana能获得的总美味度减去花费的总钱数的最大值。

 

点权有正有负，点权计算不重复，选了某些点就必须选其他点。可以看出是最大权闭合子图，用正点权和减掉最小割就能得出答案。

那么怎么建图？

由题目可看出总共有三种点：代号、区间美味度、寿司。

结合三者的关系连边：

1、对于所有区间，如果美味度为正，从源点连过来，如果美味度为负，连到汇点，美味度转正。

2、对于所有区间(i,j)，连向(i+1,j)和(i,j-1)，容量为INF，表示要选小区间之后才能选大区间。

3、对于所有区间(i,j)，连向i和j，容量为INF，表示选了对应寿司才能选这个区间（因为第二种连边，所以不用把i到j所有寿司都连上）。

4、对于所有寿司，连向它们对应代号，容量为INF；连向汇点，容量为a[i]。

5、对于所有代号，连向汇点，容量为为m*a[i]*a[i]。

连完边直接跑最大流就行了。这是我认为最好的一道最大流的题，难点就在于如何建图，建明白图后这道题就能迎刃而解了。

最后附上代码。

  1 #include<cstdio>
  2 #include<algorithm>
  3 #include<iostream>
  4 #include<cstring>
  5 #include<cmath>
  6 using namespace std;
  7 int next[100001];
  8 int to[100001];
  9 int val[100001];
 10 int head[100001];
 11 int tot=1;
 12 int q[100001];
 13 int n,m;
 14 int S,T;
 15 int s[120][120];
 16 int vis[1010];
 17 int w[1010];
 18 int a[120];
 19 int id[120][120];
 20 long long ans;
 21 long long sum;
 22 int cnt;
 23 int d[100001];
 24 const int INF=0x3f3f3f3f;
 25 void add(int x,int y,int v)
 26 {
 27     tot++;
 28     next[tot]=head[x];
 29     head[x]=tot;
 30     to[tot]=y;
 31     val[tot]=v;
 32     tot++;
 33     next[tot]=head[y];
 34     head[y]=tot;
 35     to[tot]=x;
 36     val[tot]=0;
 37 } 
 38 bool bfs(int S,int T)
 39 {
 40     int r=0;
 41     int l=0;
 42     memset(d,-1,sizeof(d));
 43     q[r++]=S;
 44     d[S]=0;
 45     while(l<r)
 46     {
 47         int now=q[l];
 48         for(int i=head[now];i;i=next[i])
 49         {
 50             if(d[to[i]]==-1&&val[i]!=0)
 51             {
 52                 d[to[i]]=d[now]+1;
 53                 q[r++]=to[i];
 54             }
 55         }
 56         l++;
 57     }
 58     if(d[T]==-1)
 59     {
 60         return false;
 61     }
 62     else
 63     {
 64         return true;
 65     }
 66 }
 67 int dfs(int x,int flow)
 68 {
 69     if(x==T)
 70     {
 71         return flow;
 72     }
 73     int now_flow;
 74     int used=0;
 75     for(int i=head[x];i;i=next[i])
 76     {
 77         if(d[to[i]]==d[x]+1&&val[i]!=0)
 78         {
 79             now_flow=dfs(to[i],min(flow-used,val[i]));
 80             val[i]-=now_flow;
 81             val[i^1]+=now_flow;
 82             used+=now_flow;
 83             if(now_flow==flow)
 84             {
 85                 return flow;
 86             }
 87         }
 88     }
 89     if(used==0)
 90     {
 91         d[x]=-1;
 92     }
 93     return used;
 94 }
 95 void dinic()
 96 {
 97     while(bfs(S,T)==true)
 98     {
 99         ans+=dfs(S,INF);
100     }
101 }
102 int main()
103 {
104     scanf("%d%d",&n,&m);
105     for(int i=1;i<=n;i++)
106     {
107         scanf("%d",&a[i]);
108     }
109     for(int i=1;i<=n;i++)
110     {
111         for(int j=i;j<=n;j++)
112         {
113             scanf("%d",&s[i][j]);
114         }
115     }
116     for(int i=1;i<=n;i++)
117     {
118         for(int j=i;j<=n;j++)
119         {
120             id[i][j]=++cnt;
121         }
122     }
123     for(int i=1;i<=n;i++)
124     {
125         if(!vis[a[i]])
126         {
127             vis[a[i]]=1;
128             w[a[i]]=++cnt;
129         }
130     }
131     S=0;
132     T=cnt+n+1;
133     memset(vis,0,sizeof vis);
134     for(int i=1;i<=n;i++)
135     {
136         if(!vis[a[i]])
137         {
138             vis[a[i]]=1;
139             add(w[a[i]],T,m*a[i]*a[i]);
140         }
141     }
142     for(int i=1;i<=n;i++)
143     {
144         add(cnt+i,T,a[i]);
145         add(cnt+i,w[a[i]],INF);
146     }
147     for(int i=1;i<=n;i++)
148     {
149         for(int j=i;j<=n;j++)
150         {
151             if(s[i][j]>0)
152             {
153                 sum+=s[i][j];
154                 add(S,id[i][j],s[i][j]);
155                 add(id[i][j],cnt+i,INF);
156                 add(id[i][j],cnt+j,INF);
157             }
158             else if(s[i][j]<0)
159             {
160                 add(id[i][j],T,-s[i][j]);
161                 add(id[i][j],cnt+i,INF);
162                 add(id[i][j],cnt+j,INF);
163             }
164             if(i!=j)
165             {
166                 add(id[i][j],id[i+1][j],INF);
167                 add(id[i][j],id[i][j-1],INF);
168             }
169         }
170     }
171     dinic();
172     sum-=ans;
173     printf("%lld",sum);
174     return 0;
175 }