归并排序求逆序对

Posted 2020-11-09

【题目描述】

现给定1,2,…,n的一个排列，求它的逆序数。

【输入格式】

第一行是一个整数n，表示该排列有n个数（n <= 100000)。
第二行是n个不同的正整数，之间以空格隔开，表示该排列。

【输出格式】

输出该排列的逆序数。

【分析】

（1）将区间[1..n]进行二分，先求出区间[1,mid]和[mid+1,n]，而子区间又进行二分直到区间内只有一个元素。

（2）将已经排好序的子区间进行合并，即用有序的[L,K][K+1,R]求出有序的区间[L,R]最终合并成区间[1,N]，而合并区间分为若干步：

①令i=j，j=mid+1，变量k=L，执行下一步。

②如果i<=mid，且j<=r，若a[i]<a[j]，则令c[sum]=a[i],i++,sum++;

若a[i]>=a[j]，则令c[sum]=a[j],j++,sum++，执行下一步，如果i>k,或j>r，则把令一个区间的剩下元素都放到c数组中，执行下一步。

③如果sum>r，则跳出循环。

求逆序对：在合并区间的第二步中在a[i]<a[j]中ans+=mid-i+1就可以了，说明a[j]比区间[i,mid]中的任何一个元素都要小，而且位置又在j的前面，提供了mid-i+1个逆序对。

【代码】

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 
 3 using namespace std;
 4 
 5 typedef long long LL;
 6 
 7 int a[100010],c[100010];
 8 int n;
 9 LL ans=0;
10 
11 void merge_sort(int l,int r){
12     int mid=(l+r)>>1,i=l,j=mid+1,k;
13     if(l>=r)return;
14     merge_sort(l,mid);
15     merge_sort(mid+1,r);
16     k=l;
17     while(i<=mid&&j<=r){
18         if(a[i]>a[j]){
19             c[k++]=a[j++];
20             ans+=mid-i+1;
21         }
22         else c[k++]=a[i++];
23     }
24     while(i<=mid)c[k++]=a[i++];
25     while(j<=r)c[k++]=a[j++];
26     for(i=l;i<=r;i++) a[i]=c[i];
27 }
28 
29 int main()
30 {
31     scanf("%d",&n);
32     for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
33     merge_sort(1,n);
34     printf("%lld\n",ans);
35     return 0;
36 }