20180530模拟赛T2——绀碧之棺

Posted 2020-11-09 pfy_pfy

题目背景Background

qiancl 得到了一张藏宝图，上面写了一道谜题。

题目描述 Description

定义\(F(n)\)为 n 在十进制下各个数位的平方和，求区间\([a,b]\)中有多少\(n\)满足\(k\times F(n) = n\)。

输入描述 (coffin.in) Input Description

一行三个正整数\(k,a,b\)。

输出描述 (coffin.out) Output Description

一行一个整数表示满足条件的\(n\)的个数。

样例输入Sample Input

51 5000 10000

样例输出 Sample Output

3

数据范围及提示 Data Size & Hint

测试数据	对应数据范围
其中12个测试点	\(1\le k,a,b\le 105\)
其中6个测试点	\(233\le k\le 250\)，且\(1\le a,b\le10^8\)
剩下32个测试点	\(1\le k,a,b\le 10^{18}\)

样例中满足的\(3\)个\(n\)分别是\(7293,7854,7905\)。

题解

开始被\(10^{18}\)的数据范围给吓到了，%你赛结束后听说有人打了数位dp（代码看这里）。orz

然而正解是枚举??。

开始我没想那么多，就打了个普通的枚举，然后开始考虑优化。

首先，不难发现\(k\mid n\)，于是我们就可以让\(n\) k个k个地加。

然后我们就考虑一下缩小枚举区间：

首先\(n\)是要求的，无法考虑在此方向拓展；

\(k\)于是我们就想到\(F(n)\)，考虑到\(n \le 10^{18}\)，又因为题目中明确说明“在十进制下”，于是我们就不难发现\(F(n)\le 9^2\times 18 = 1458\)（每一位都取\(9\)）。又因为我们是\(k\)位\(k\)位枚举的，所以我们最多只需枚举\(1458\)次。

注意开long long。

代码

#include <fstream>
#include <algorithm>

using namespace std;

ifstream fin("coffin.in");
ofstream fout("coffin.out");

typedef long long LL;

LL a, b, k;

const int sqr[] = {0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81};
const int kk = 81*18;

inline LL F(LL x)
{
    LL ans = 0;
    while(x)
    {
        ans += sqr[x%10];
        x /= 10;
    }
    return ans;
}

inline bool check(LL n)
{
    return F(n)*k == n;
}

int main()
{
    int ans = 0;
    fin >> k >> a >> b;
    if(a == b)
    {
        fout << check(a);
        return 0;
    }
    LL l = (a%k) ? ((a/k)+1)*k : a;
    LL r = min((kk*k), b);
    for(LL i = l; i <= r; i += k)
        if(check(i))
            ans++;
    fout << ans << '\n';
    return 0;
}