倍增LCA

Posted 2020-11-09 royal-8

题目描述

如题，给定一棵有根多叉树，请求出指定两个点直接最近的公共祖先。
输入输出格式
输入格式：

第一行包含三个正整数N、M、S，分别表示树的结点个数、询问的个数和树根结点的序号。

接下来N-1行每行包含两个正整数x、y，表示x结点和y结点之间有一条直接连接的边（数据保证可以构成树）。

接下来M行每行包含两个正整数a、b，表示询问a结点和b结点的最近公共祖先。

输出格式：

输出包含M行，每行包含一个正整数，依次为每一个询问的结果。

输入输出样例
输入样例#1： 复制

5 5 4
3 1
2 4
5 1
1 4
2 4
3 2
3 5
1 2
4 5

输出样例#1： 复制

4
4
1
4
4

说明

时空限制：1000ms,128M

数据规模：

对于30%的数据：N<=10，M<=10

对于70%的数据：N<=10000，M<=10000

对于100%的数据：N<=500000，M<=500000

样例说明：

该树结构如下：

第一次询问：2、4的最近公共祖先，故为4。

第二次询问：3、2的最近公共祖先，故为4。

第三次询问：3、5的最近公共祖先，故为1。

第四次询问：1、2的最近公共祖先，故为4。

第五次询问：4、5的最近公共祖先，故为4。

故输出依次为4、4、1、4、4。

luogu 3379 lca模板

为什么要用倍增来求呢？

因为快啊，不用一个一个跳，直接以2的幂次方跳。

那我们讲解一下大致过程：

首先我们需要每个点的深度和它往上2的幂次方的节点是哪个；

这个可以用dfs和dp搞出来；

dp【i】【j】表示第i个节点往上跳2的j次方后的节点是哪个；

那么有转移dp【i】【j】=dp【dp【i】【j-1】】【j-1】；

然后我们求lca

首先我们要使第一个点是深度大的那个，因为这样好写

其次我们枚举深度（2^k），当2^k<=这两个点之间的深度差的最大值时；

我们让x向上跳2^k;

这个地方有一个特判，在代码里有，懒得再打一遍了；

然后倒序继续枚举深度，如果两个点都跳2的k次方后为同一个点，那就不用跳了，因为是倒叙枚举，后面肯定要比前面优，如果不是同一个点，就跳；

最后跳完肯定是两个点都在lca的下面一个点；

那么只要求这个点的父亲返回就是lca；

下面 ↓

↓

↓

↓

↓

↓

↓

↓

↓

↓

↓

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
int f[500050][50],ans[5000000],head[5000000],deep[5000000],cnt,root,n,m,tt,flag,yqy;//f[i][j]表示第i个节点向上跳2的j次方的节点 
struct node 
{
    int to,next;
}edge[1000500];
void add(int x,int y)
{
    cnt++;
    edge[cnt].to=y;
    edge[cnt].next=head[x];
    head[x]=cnt;
}
void dfs(int x,int father){
    deep[x]=deep[father]+1;
    f[x][0]=father;//向上一个节点就是该点的父亲； 
    for(int i=1;(1<<i)<=deep[x];i++)
        f[x][i]=f[f[x][i-1]][i-1];//x向上跳2^i可以由x先向上跳2^(i-1)再跳2^(i-1)转移过来；不是2的i-1次方的i-1次方； 
    for(int i=head[x];i;i=edge[i].next){
        int y=edge[i].to;
        if(y!=father)dfs(y,x);
    }
}
int LCA(int x,int y)
{
    if(deep[x]<deep[y])
    {
        int temp=x;
        x=y;
        y=temp;
    }//保证x为深度大的； 
    for(int i=20;i>=0;i--)
        if(deep[x]-deep[y]>=(1<<i))//如果两个节点的深度差比2的i次方大； 
            x=f[x][i];//x就往上跳2的i次方； 
    if(x==y) //如果跳完正好在同一个节点，那么就返回这个节点； 
        return x;
    for(int k=20;k>=0;k--)
        if(f[x][k]!=f[y][k])//如果两个点都跳2的k次方后为同一个点，那就不用跳了，因为是倒叙枚举，后面肯定要比前面优，如果不是同一个点，就跳； 
            x=f[x][k],y=f[y][k];
    return f[y][0];//跳完之后肯定保留到两点只跳一步就相同，所以返回父亲就行了； 
}
int main()
{
//    ios::sync_with_stdio(0); 
    int x,y,a,b;
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&root);
    for(int i=1;i<=n-1;i++)
    {
        scanf("%d%d",&x,&y);
        add(x,y);
        add(y,x);
    }
    dfs(root,0);
    for(int i=0;i<m;i++)
    {
          scanf("%d%d",&a,&b);
        printf("%d\n",LCA(a,b));
    }
    return 0;
}

标程加解析

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