nyoj 61-传纸条(双向dp)

Posted 2020-11-09 GetcharZp

61-传纸条（一）

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题目描述:

小渊和小轩是好朋友也是同班同学，他们在一起总有谈不完的话题。一次素质拓展活动中，班上同学安排做成一个m行n列的矩阵，而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端，因此，他们就无法直接交谈了。幸运的是，他们可以通过传纸条来进行交流。纸条要经由许多同学传到对方手里，小渊坐在矩阵的左上角，坐标(1,1)，小轩坐在矩阵的右下角，坐标(m,n)。从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递，从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。

在活动进行中，小渊希望给小轩传递一张纸条，同时希望小轩给他回复。班里每个同学都可以帮他们传递，但只会帮他们一次，也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙，那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙。反之亦然。

还有一件事情需要注意，全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低（注意：小渊和小轩的好心程度没有定义，输入时用0表示），可以用一个0-1000的自然数来表示，数越大表示越好心。小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条，即找到来回两条传递路径，使得这两条路径上同学的好心程度之和最大。现在，请你帮助小渊和小轩找到这样的两条路径。

输入描述:

第一行输入N(0<N<100)表示待测数据组数。
每组测试数据输入的第一行有2个用空格隔开的整数m和n，表示班里有m行n列（2<=m,n<=50）。 
接下来的m行是一个m*n的矩阵，矩阵中第i行j列的整数表示坐在第i行j列的学生的好心程度（不大于1000）。每行的n个整数之间用空格隔开。

输出描述:

每组测试数据输出共一行，包含一个整数，表示来回两条路上参与传递纸条的学生的好心程度之和的最大值。 

样例输入:

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1
3 3
0 3 9
2 8 5
5 7 0

样例输出:

34

分析：
　　1、如果进行单边考虑，即就是先去后回，得到的路线可能会相交
　　2、所以，我们进行同步走，即就是一个端点两条线，在再dp循环里面判断所走的每一步是否相交（i == j, 表示相交）
　　3、状态方程：dp[k][i][j] = max(max(dp[k-1][i-1][j-1], dp[k-1][i-1][j]),
　　　　　　　　　　　　　　　　  max(dp[k-1][i][j-1], dp[k-1][i][j])) + my_map[i][k-i] + my_map[j][k-j];
　　4、最大值：dp[n+m-1][n][n-1]

核心代码：

 1 for(int i = 2; i <= n+m ; ++ i)
 2 {
 3     for(int j = 1; j <= n; ++ j)
 4     {
 5         for(int k = 1; k <= n; ++ k)
 6         {
 7             if(j == k) continue; // 相交
 8             if((i-j) < 0 || (i-k) < 0 || (i-j) > m || (i-k) > m) continue; //越界
 9             dp[i][j][k] = max(max(dp[i-1][j-1][k-1], dp[i-1][j-1][k]), 
10                               max(dp[i-1][j][k-1], dp[i-1][j][k]))
11                               + my_map[j][i-j] + my_map[k][i-k];
12         }
13     }
14 }

C/C++代码实现（AC）:

 

 1 #include <iostream>
 2 #include <algorithm>
 3 #include <cstring>
 4 #include <cstdio>
 5 #include <cmath>
 6 #include <stack>
 7 #include <map>
 8 #include <queue>
 9 #include <set>
10 
11 using namespace std;
12 const int MAXN = 55;
13 int dp[MAXN + MAXN][MAXN][MAXN], my_map[MAXN][MAXN];
14 
15 int main()
16 {
17     int t;
18     scanf("%d", &t);
19     while(t --)
20     {
21         int n, m;
22         memset(dp, 0, sizeof(dp));
23         scanf("%d%d", &n, &m); // n代表的是行
24         for(int i = 1; i <= n; ++ i)
25             for(int j = 1; j <= m; ++ j)
26                 scanf("%d", &my_map[i][j]);
27 
28         for(int k = 2; k <= n + m; ++ k) // 因为map由(1, 1)开始存，所以k从2开始才表示有效的第1,...步
29         {
30             for(int i = 1; i <= n; ++ i)
31             {
32                 for(int j = 1; j <= n; ++ j)
33                 {
34                     if (i == j || (k-i) < 0 || (k-j) < 0 || (k-i) > m || (k-j) > m) continue;
35                     dp[k][i][j] = max(max(dp[k-1][i-1][j-1], dp[k-1][i][j-1]),
36                                       max(dp[k-1][i-1][j], dp[k-1][i][j]))
37                                        + my_map[i][k-i] + my_map[j][k-j];
38                 }
39             }
40         }
41         printf("%d\n", dp[n+m-1][n][n-1]); // 执行到 n+m-1步后，它的下一步就是终点
42     }
43     return 0;
44 }