时间复杂度和空间复杂度

Posted 2020-11-09 烈火延维

时间复杂度和空间复杂度是算法效率的度量方法。

时间复杂度：

算法时间复杂度的定义：在进行算法分析时，语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数，进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。

算法的时间复杂度，也就是算法的时间量度，记作：T(n)= O(f(n))。

它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐近时间复杂度，简称为时间复杂度。其中f(n)是问题规模n的某个函数。

计算方法：

1.用常数1取代运行时间中的所有加法常数。

2.在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。

3.如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。

最后，得到的最后结果就是时间复杂度。

案例：

按数量级递增排列，常见的时间复杂度有：
常数阶O(1),对数阶O( log n ),线性阶O(n),线性对数阶O(nlog2n),平方阶O(n^{2)，立方阶O(n}3),...，k次方阶O(n^{k),指数阶O(2}n)。随着问题规模n的不断增大，上述时间复杂度不断增大，算法的执行效率越低。
也就是：
常用的时间复杂度所耗费的时间从小到大依次是：O(1) < O(logn) < (n) < O(nlogn) < O(n^2) < O(n^3) < O(2^n) < O(n!) < O(n^n)

// 线性阶
int i , n = 10086, sum = 0;
 
for( i=0; i < n; i++ )
{
    sum = sum + i;
}

上面这段代码的时间复杂度是O(n)，因为问题规模会随着n的增长而变得越来越大，并且这种增长是线性的。

// 平方阶
int i, j, n = 998;
 
for( i=0; i < n; i++ )
{
    for( j=0; j < n; j++ )
    {
        printf(“oneSong”);
    
}

上面这段代码外层执行n次，外层循环每执行一次，内层循环就执行n次，那总共程序想要从这两个循环出来，需要执行n*n次，也就是n的平方。所以这段代码的时间复杂度为O(n^2)。

// 对数阶
int i = 1, n = 100;
 
while( i < n )
{
    i = i * 2;
}

由于每次i*2之后，就距离n更近一步，假设有x个2相乘后大于或等于n，则会退出循环。于是由2^x = n得到x = log(2)n，所以这个循环的时间复杂度为O(logn)。

空间复杂度：

算法的空间复杂度通过计算算法所需的存储空间实现，算法的空间复杂度的计算公式记作：S(n)=O(f(n))，其中，n为问题的规模，f(n)为语句关于n所占存储空间的函数。

在 程序开发中，我们所指的复杂度不做特别说明的情况下，就是指时间复杂度。现在的硬件发展速度之快使得我们完全可以不用考虑算法所占的内存，通常都是用空间 换取时间。加之算法的空间复杂度比较难算，所以，无论是在考试中还是在项目开发中，我们都侧重于时间复杂度。