[POI2009]Lyz

Posted 2020-11-09 Wolfycz

Description
初始时滑冰俱乐部有1到n号的溜冰鞋各k双。已知x号脚的人可以穿x到x+d的溜冰鞋。 有m次操作，每次包含两个数ri，xi代表来了xi个ri号脚的人。xi为负，则代表走了这么多人。 对于每次操作，输出溜冰鞋是否足够。

Input
n m k d ( 1≤n≤200,000 ， 1≤m≤500,000 ， 1≤k≤10^9 ， 0≤d≤n ) ri xi （ 1≤i≤m， 1≤ri≤n-d ， |xi|≤10^9 ）

Output
对于每个操作，输出一行，TAK表示够 NIE表示不够。

Sample Input
4 4 2 1
1 3
2 3
3 3
2 -1

Sample Output
TAK
TAK
NIE
TAK

这题好难，完全不懂原理……以下转载CRZbulabula的博客

Hall定理

把俱乐部的人看做点集X，溜冰鞋看做点集Y

显然这是一个二部图

根据Hall定理，如果存在饱和点集X的匹配，那么\(\forall S \subseteq X\),\(|N(S)| \geqslant |S|\)

N(S)是Y中与X相邻的点的集合

对于此题，Hall定理最容易取到反例的状况一定是连续一段区间

因为此时能用来容纳X匹配的对应的Y总不多于不连续的区间

那么就是说，\(\forall \sum\limits_{i=l}^r A_i \leqslant (r - l + 1 + d)\times k\)

两边同时-k，得\(\sum\limits_{i=1}^n (A_i-k) \leqslant d\times k\)

于是，我们只需要维护连续序列的最大值就行了

线段树解决

/*program from Wolfycz*/
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define inf 0x7f7f7f7f
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned int ui;
typedef unsigned long long ull;
inline int read(){
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    for (;ch<‘0‘||ch>‘9‘;ch=getchar())  if (ch==‘-‘)    f=-1;
    for (;ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘;ch=getchar())    x=(x<<1)+(x<<3)+ch-‘0‘;
    return x*f;
}
inline void print(int x){
    if (x>=10)     print(x/10);
    putchar(x%10+‘0‘);
}
const int N=2e5;
int n,m,k,d;
struct Segment{
    #define ls (p<<1)
    #define rs (p<<1|1)
    struct node{
        ll le,ri,sum,now;
        node(){le=ri=now=sum=0;}
        node(ll a,ll b,ll c,ll d){le=a,ri=b,sum=c,now=d;}
        void insert(ll x){le=ri=now=sum=x;}
    }tree[(N<<2)+10];
    friend node operator +(const node &x,const int v){return node(x.le+v,x.ri+v,x.sum+v,x.now+v);}
    friend node operator +(const node &x,const node &y){
        node z;
        z.now=max(max(x.now,y.now),x.ri+y.le);
        z.le=max(x.le,x.sum+y.le);
        z.ri=max(y.ri,x.ri+y.sum);
        z.sum=x.sum+y.sum;
        return z;
    }
    void build(int p,int l,int r){
        if (l==r){
            tree[p].insert(-k);
            return;
        }
        int mid=(l+r)>>1;
        build(ls,l,mid),build(rs,mid+1,r);
        tree[p]=tree[ls]+tree[rs];
    }
    void change(int p,int l,int r,int x,ll v){
        if (l==r){
            tree[p]=tree[p]+v;
            return;
        }
        int mid=(l+r)>>1;
        if (x<=mid) change(ls,l,mid,x,v);
        else    change(rs,mid+1,r,x,v);
        tree[p]=tree[ls]+tree[rs];
    }
}Tree;
int main(){
    n=read(),m=read(),k=read(),d=read();
    Tree.build(1,1,n); 
    for (int i=1;i<=m;i++){
        int x=read(),v=read();
        Tree.change(1,1,n,x,v);
        printf(Tree.tree[1].now>1ll*k*d?"NIE\n":"TAK\n");
    }
    return 0;
}