最小链覆盖

Posted 2020-11-09 PECHPO

最小链覆盖

从有向无环图(DAG)中选出若干点不相交的链，使得这些链覆盖所有的点，并且链的条数最小。链的定义是一条连续路径，并且不经过重复的点。

设没有用到的边是黑色边，用到的边是彩色边。那么一条彩色边对应一个连出去的点。由于链的个数是没有连出去的点的数量，因此我们只需要最大化彩色边个数a。答案即是n-a。

建立两个n个点的点集X和Y，如果原图中存在一条边A->B，就在X中的A向Y中的B连边，跑最大匹配就能找到最大彩色边个数。这是对的，是因为X中对应的是只有一条边连出去，而Y对应的是只有一条边连过来。因此一个点最多连进去一次，连出去一次。