求全排列

Posted 2020-07-12

参考：

1. STL系列之十 全排列(百度迅雷笔试题)

2. 全排列算法非递归实现和递归实现 (C++)

3. [算法]列车算法 

题目要求：

写一个函数, 如 Foo(const char *str), 打印出 str 的全排列, 
如 abc 的全排列: abc, acb, bca, dac, cab, cba

一．全排列的递归实现

为方便起见，用123来示例下。123的全排列有123、132、213、231、312、321这六种。首先考虑123和132如何得出：它们的最高位都固定为1（或者说以1为前缀），后边跟上｛2，3｝的全排列（至于｛2，3｝的全排列怎么求，则靠递归来完成）；213和231同理：以2为前缀，后边跟上｛1，3｝的全排列；312和321:以3为前缀，后边跟上｛1，2｝的全排列。

形式化一点的表述——

令E= {e1 , ..., en }表示n 个元素的集合，我们的目标是生成该集合的所有排列方式。

令Ei 为E中移去元素i 以后所获得的集合，

perm (X) 表示集合X 中元素的排列方式，

ei . p e r m(X)表示在perm (X) 中的每个排列方式的前面均加上ei 以后所得到的排列方式。

举例——

如果E= {a, b, c}，那么E1= {b, c}，perm (E1 ) = ( b c, c b)，e1.perm (E1) = (a b c, a c b)。

对于递归的基本部分，采用n = 1。当只有一个元素时，只可能产生一种排列方式，所以perm (E) = ( e)，其中e 是E 中的唯一元素。

当n > 1时，perm (E) = e1.perm (E1 ) +e2.perm(E2 ) +e3.perm (E3) + ? +en .perm (En )。这种递归定义形式是采用n 个perm (X) 来定义perm (E), 其中每个X 包含n- 1个元素。至此，一个完整的递归定义所需要的基本部分和递归部分都已完成。

也就是说——

当n= 3并且E=（a, b, c）时，按照前面的递归定义可得perm (E) =a.perm ( {b, c} ) +b.perm ( {a,c} ) +c.perm ( {a, b} )。

同样，按照递归定义有perm ( {b, c} ) =b.perm ( {c} ) +c.perm ( {b})，

所以a.perm ( {b, c} ) = ab.perm ( {c} ) + ac.perm ( {b}) = a b . c + ac.b = (a b c, a c b)。

同理可得 b.perm ( {a, c}) = ... = (b a c, b c a)，c.perm ( {a, b}) = ... = (c a b, c b a)。

所以perm (E) = (a b c, a c b, b a c, b c a,c a b, c b a)。

 1 public class Permutation {
 2     
 3     // 生成arr[k:m]的所有排列方式
 4     private static void perm(char[] arr, int k, int m) {
 5          if (k == m)    // 得到了一个排列方式
 6              System.out.println(Arrays.toString(arr));
 7          else {            
 8              // arr[k:m]有多种排列方式，递归地求出来
 9              for (int i = k; i <= m; i++) {
10                  char t = arr[i];  arr[i] = arr[k]; arr[k] = t;
11                  perm(arr, k+1, m);
12                  t = arr[i];  arr[i] = arr[k]; arr[k] = t;
13              }
14          }
15     }
16     
17     private static void perm(char[] arr) {
18         perm(arr, 0, arr.length-1);
19     }
20 
21     public static void main(String[] args) {
22         char[] sequence = new String("abcd").toCharArray();
23         perm(sequence);
24     }
25 
26 }

View Code

 

总结：

找到递归关系，把perm(E)问题转化为n个perm(X)问题，其中每个X 包含n- 1个元素。