Codeforces Round #446 Div1 E

Posted 2020-11-09 无尽的蓝黄

题目大意

有n个数，进行k轮操作：随机一个i，让\(a_i\)减1，然后ans加上\(\Pi_{j\neq i}a_i\)。
求ans的期望。

分析

发现，造成的伤害就是原来的ai的积减去k轮操作后的ai的积（其实我在看题解前根本没发现）。
题目就变成了求k轮操作后的ai的积的期望。
设ai经过了k轮操作减去了bi
\[E(\Pi_{i=1}^{n}(a_i-b_i))=\dfrac{1}{n^k}\sum_{\sum_{i=1}^{n}b_i=k}\Pi_{i=1}^{n}(a_i-b_i)(a_i-b_i)C_{k}^{b_1}C_{k-b_1}^{b_2}C_{k-b_1-b_2}^{b_3}...\]
\[=\dfrac{1}{n^k}\sum_{\sum_{i=1}^{n}b_i=k}\Pi_{i=1}^{n}(a_i-b_i)(a_i-b_i)\dfrac{k!}{\Pi_{i=1}^{n}b_i!}\]
考虑如何求
\[\sum_{\sum_{i=1}^{n}b_i=k}\Pi_{i=1}^{n}(a_i-b_i)(a_i-b_i)\dfrac{1}{\Pi_{i=1}^{n}b_i!}\]
设生成函数
\[F_i(x)=\sum_{j=0}^{\infty}\dfrac{a_i-j}{j!}x^j=\sum_{j=0}^{\infty}\dfrac{a_i}{j!}x^j-\sum_{j=0}^{\infty}\dfrac{1}{(j-1)!}x^j=(a_i-x)e^x\]
于是就
\[=\Pi_{i=1}^{n}F_i(x)=e^{nx}\Pi_{i=1}^{n}(a_i-x)\]
我们就要求出\(e^{nx}\Pi_{i=1}^{n}(a_i-x)\)的第k项的系数
\(\Pi_{i=1}^{n}(a_i-x)\)就可以用分治FFT来求。
然后对于\(\Pi_{i=1}^{n}(a_i-x)\)第i项乘上\(e^{nx}\)第k-i项加起来就是\(e^{nx}\Pi_{i=1}^{n}(a_i-x)\)的第k项的系数了。

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#include <iostream>
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#include <cstdlib>
#include <cstring>
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#include <queue>
#include <map>
#include <bitset>
#include <set>
#include <vector>
const int inf=2147483647;
const long long mo=998244353;
const int N=400005;
using namespace std;
long long f[20][N],W[N];
int n,m;
long long ans,a[N],ny;
long long poww(long long x,long long y)
{
    long long s=1;
    for(;y;y>>=1,x=x*x%mo)
        if(y&1) s=s*x%mo;
    return s;
}
void NTT(long long *f,int fn,int z)
{
    for(int i=0,p=0;i<fn;i++)
    {
        if(i<p) swap(f[i],f[p]);
        for(int j=fn>>1;(p^=j)<j;j>>=1);
    }
    for(int i=2;i<=fn;i<<=1)
    {
        int half=i>>1,pe=fn/i;
        for(int j=0;j<half;j++)
        {
            long long w0=z?W[j*pe]:W[fn-j*pe];
            for(int k=j;k<fn;k+=i)
            {
                long long x=f[k],y=f[k+half]*w0%mo;
                f[k]=(x+y)%mo,f[k+half]=(x-y+mo)%mo;
            }
        }
    }
}
void dc(int deep,int l,int r)
{
    if(l==r)
    {
        f[deep][0]=a[l],f[deep][1]=-1;
        return;
    }
    int mid=(l+r)>>1,fn;
    for(fn=1;fn<=r-l+2;fn<<=1);

    dc(deep+1,l,mid);

    for(int i=0;i<fn;i++) f[deep][i]=f[deep+1][i],f[deep+1][i]=0;

    dc(deep+1,mid+1,r);

    W[0]=1,W[1]=poww(3,(mo-1)/fn);
    for(int i=1;i<=fn;i++) W[i]=W[i-1]*W[1]%mo;
    NTT(f[deep],fn,1),NTT(f[deep+1],fn,1);
    for(int i=0;i<fn;i++) f[deep][i]=f[deep][i]*f[deep+1][i]%mo;
    NTT(f[deep],fn,0);
    ny=poww(fn,mo-2);
    for(int i=0;i<fn;i++) f[deep][i]=f[deep][i]*ny%mo;

    for(int i=0;i<fn;i++) f[deep+1][i]=0;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&a[i]);
    dc(1,1,n);
    long long val=m;
    ny=poww(n,mo-2);
    for(int i=1;i<=min(n,m);i++)
    {
        val=val*ny%mo;
        ans=(ans+f[1][i]*val%mo)%mo;
        if(m-i>=1) val=val*(m-i)%mo;
    }
    printf("%lld\n",(mo-ans+mo)%mo);
}