51nod 1245Binomial Coefficients Revenge

Posted 2020-11-09 无尽的蓝黄

题目大意

C(M,N) = M! / N! / (M - N)! (组合数)。给出M和质数p，求C(M,0), C(M,1)......C(M,M)这M + 1个数中，有多少数不是p的倍数，有多少是p的倍数但不是p^2的倍数，有多少是p^2的倍数但不是p^3的倍数......。
例如：M = 10, P = 2。C(10,0) -> C(10,10)
分别为：1, 10, 45, 120, 210, 252, 210, 120, 45, 10, 1。
P的幂 = 1 2 4 8 16......
1 45 45 1 这4个数只能整除1。
10 210 210 10这4个数能整除2但不能整除4。
252 能整除4但不能整除8。
120 120 这2个数能整除8但不能整除16。
所以输出：4 4 1 2。

分析

根据kummer定理，\(C_{n+m}^{n}\)的含的质数p的幂次等于在p进制下n+m的进位次数。
于是数位dp，设\(f[i][j][0/1]\)表示，做到第i位，进了j次位，当前位是否进位的方案数。

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#include <vector>
const int inf=2147483647;
const int mo=1e9+7;
const int N=75;
using namespace std;
int T;
long long n,p,f[N][N][2],m,a[N];
int main()
{
    for(scanf("%d",&T);T--;)
    {
        scanf("%lld%lld",&n,&p);
        memset(f,0,sizeof(f));
        a[0]=0;
        for(long long x=n;x;x/=p) a[++a[0]]=x%p;
        f[1][0][0]=a[1]+1,f[1][1][1]=p-a[1]-1;
        for(int i=1;i<a[0];i++)
            for(int j=0;j<=i;j++)
            {
                f[i+1][j][0]+=(a[i+1]+1)*f[i][j][0]+a[i+1]*f[i][j][1];
                f[i+1][j+1][1]+=(p-a[i+1]-1)*f[i][j][0]+(p-a[i+1])*f[i][j][1];
            }
        for(int i=a[0];i>=0;i--)
            if(f[a[0]][i][0])
            {
                for(int j=0;j<=i;j++) printf("%lld ",f[a[0]][j][0]);
                break;
            }
        putchar('\n');
    }
}