[Bzoj5359][Lydsy1805月赛]寻宝游戏（dp）

Posted 2020-11-09 lzdhydzzh

5359: [Lydsy1805月赛]寻宝游戏

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Description

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begin.lydsy.com/JudgeOnline/upload/201805.pdf

Input

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Output

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Sample Input

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Sample Output

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HINT

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Source

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鸣谢claris提供

 

分析：

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dp状态定义很重要，很明显是选一条路径，其中有t个不选，从路径外选t个。

如果k = 0，就是做一遍O（nm）的经典dp

k > 0  ：定义状态f[i][j][k][l]，表示已考虑完以（1,1）为左上角，（i，j）为右下角的矩形，一条（1,1）到（i，j）的路径中有k个点不选，从外面选了l个点的最大价值。

预处理出g[i][j][k]（（i，j + 1）~（i，m）中前k大之和），h[i][j][k] （（i + 1，j） ~（n，j）中前k大和）,复杂度O（n^3logn）

转移起来就很简单了（记录每个点权值为s[i][j]）：

f[i][j][k][l]  +  g[i][j][x] + s[i + 1][j] ----> f[i+1][j][k][l + x] （从右选了前x大，往下走）

f[i][j][k][l]  +  g[i][j][x] ----> f[i+1][j][k + 1][l + x] （从右选了前x大，往下走，且舍弃s[i + 1][j]）

f[i][j][k][l]  +  h[i][j][x] + s[i][j + 1] ----> f[i][j + 1][k][l + x] （从下选了前x大，往右走）

f[i][j][k][l]  +  h[i][j][x] ----> f[i][j + 1][k + 1][l + x] （从下选了前x大，往右走，且舍弃s[i][j + 1]）

初始化f[1][1][0][0] = s[1][1]，f[1][1][1][0] = 0。就可以在O(n ^ 2k^3）转移了

最后答案就为max（f[n][m][t][t]），t∈[0,K]

（所以说dp定义状态比转移关键呢）

AC代码：

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# include <iostream>
# include <cstdio>
# include <cstring>
# include <algorithm>
using namespace std;
int f[52][52][22][22],a[52],b[52],s[52][52],g[52][52][52],h[52][52][52],n,m,K,dt;
bool cmp(int x,int y){return x > y;}
void init()
{
    memset(g,0,sizeof g);
    memset(h,0,sizeof h);
    for(int i = 1;i <= n;i++)
    {
        dt = 0;
        for(int j = m;j >= 1;j--)
        {
              sort(a + 1,a + dt + 1,cmp);
              for(int k = 1;k <= dt;k++)b[k] = b[k - 1] + a[k],g[i][j][k] = b[k];
            a[++dt] = s[i][j];
        }
    }
    for(int j = 1;j <= m;j++)
    {
        dt = 0;
        for(int i = n;i >= 1;i--)
        {
              sort(a + 1,a + dt + 1,cmp);
              for(int k = 1;k <= dt;k++)b[k] = b[k - 1] + a[k],h[i][j][k] = b[k];
            a[++dt] = s[i][j];
        }
    }
    memset(f,0x80,sizeof f);
    f[1][1][0][0] = s[1][1];
    f[1][1][1][0] = 0;
}
int main()
{
    int Case;scanf("%d",&Case);
    while(Case--)
    {
        scanf("%d %d %d",&n,&m,&K);
        for(int i = 1;i <= n;i++)
         for(int j = 1;j <= m;j++)
         scanf("%d",&s[i][j]);
         init();
        for(int i = 1;i <= n;i++)
         for(int j = 1;j <= m;j++)
          for(int k = 0;k <= K;k++)
           for(int l = 0;l <= K;l++)
           {
                for(int t = 0;t <= min(K - l,m - j);t++)
                f[i + 1][j][k][l + t] = max(f[i + 1][j][k][l + t],f[i][j][k][l] + s[i + 1][j] + g[i][j][t]),
                f[i + 1][j][k + 1][l + t] = max(f[i + 1][j][k + 1][l + t],f[i][j][k][l] + g[i][j][t]);
                for(int t = 0;t <= min(K - l,n - i);t++)
                f[i][j + 1][k][l + t] = max(f[i][j + 1][k][l + t],f[i][j][k][l] + s[i][j + 1] + h[i][j][t]),
                f[i][j + 1][k + 1][l + t] = max(f[i][j + 1][k + 1][l + t],f[i][j][k][l] + h[i][j][t]);
           }
        int ans = 0;
        for(int i = 0;i <= K;i++)ans = max(ans,f[n][m][i][i]);
        printf("%d\n",ans);
    }
}